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∴DC?DC1?CC1?4即CD?DC1 ??????4分 又B1C1?CD ∴ CD?平面B1C1D 又CD?平面B1CD 故平面B1CD?平面B1C1D ???????????6分 （Ⅱ）解：当AD?2AA1时二面角B1?CD?C1的大小为60°. ?????7分 2C1 A1 E D
C A
（第19题图）
B 假设在AA1上存在一点D满足题意，
由（Ⅰ）可知B1C1?平面ACC1A1.如图，在平面ACC1A1内过C1作
B1
C1E?CD，交CD或延长线或于E，连EB1，则EB1?CD
所以?B1EC1为二面角B1?CD?C1的平面角 ??????8分 ∴?B1EC1?60 由B1C1?2知，C1E?设AD?x ，则DC??23 ?????????10分 3x2?1 ∵?DCC1的面积为1 ∴1223x?1??1 23解得x?2，即AD?2?2AA1 2z C1 A1 B1 ∴在AA1上存在一点D满足题意????????12分 解法二：
（Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线为x、y、z 轴空间直角坐标系.
则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),D(1,0,1).
x A D C B y
建立
即C1B1?(0,2,0),DC1?(?1,01),CD?(1,0,1) ??2分 由C1B1?CD?(0,2,0)?(1,0,1)?0?0?0?0得C1B1?CD
（第19题图）
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由DC1?CD?(?1,0,1)?(1,0,1)?0?0?0?0得DC1?CD ??????4分 又DC1?C1B?C1
∴CD?平面B1C1D 又CD?平面B1CD
∴平面B1CD?平面B1C1D ????????????6分 （Ⅱ）当AD?2AA1时二面角B1?CD?C1的大小为60°. ?????7分 2????????设AD?a，则D点坐标为(1,0,a)，CD?(1,0,a),CB1?(0,2,2) ??设平面B1CD的法向量为m?(x,y,z)
????????m?CB1?0?2y?2z?0 则由 ????????? 令z??1
?x?az?0??m?CD?0??得m?(a,1,?1) ????8分
????又∵CB?(0,2,0)为平面C1CD的法向量
??????m?CB11则由cos60???????????10分 ???2m?CBa?22
解得a?2，故AD?2?2AA1. 2∴在AA1上存在一点D满足题意????????????12分 20.（本小题满分12分）
已知二次函数f?x??x?ax?a?a?0,x?R?有且只有一个零点，数列?an?的前n项和
2*Sn?f?n?N??n?.
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设cn?1?4n?N?，定义所有满足cm?cm?1?0的正整数m的个数，称为这个数列?cn?的an??变号数，求数列?cn?的变号数.
解：（Ⅰ）依题意，??a?4a?0?a?0或a?4
2
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又由a?0得a?4,f?x??x?4x?4
?Sn?n2?4n?4
当n?1时，a1?S1?1?4?4?1； 当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?5
??1?n?1? ?????????????6分 ?an????2n?5?n?2???3?n?1?? （Ⅱ）由题设cn?? 4*?n?2,n?N??1??2n?512n?9??0可知，当n?5时，恒有an?0?????8分
2n?52n?51又c1??3，c2?5，c3??3，c4??
3由1?即c1?c2?0，c2?c3?0，c4?c5?0
所以，数列?cn?共有三个变号数，即变号数为3. ??????????12分 21. (本小题满分12分)
已知直线l与函数f(x)?lnx的图象相切于点(1,0)，且l与函数
g(x)?
127x?mx?(m?0)的图象也相切.22
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h(x)?f(x?1)?g?(x)（其中g?(x)是g(x)的导函数），求函数h(x)的最大值； （Ⅲ）当0?a?1时，求证：f(1?a)?f(2)?a?1. 2解：（Ⅰ）∵f?(x)?1，直线l是函数f(x)?lnx的图象在点(1,0)处的切线， x ∴其斜率为k?f?(1)?1
∴直线l的方程为y?x?1． ?????2分
又因为直线l与g(x)的图象相切
?y?x?1129??x?(m?1)x??0， ∴ ?12722y?x?mx??22?
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得??(m?1)2?9?0?m??2（m?4不合题意，舍去） ?????4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)?127x?2x? 22∴h(x)?f(x?1)?g?(x)?ln(x?1)?x?2（x??1）， ∴h?(x)?1?x．（x??1） ?????6分 ?1?x?1x?1当?1?x?0时，h?(x)?0；当x?0时，h?(x)?0．
于是，h(x)在(?1,0)上单调递增，在(0,??)上单调递减． ?????8分 所以，当x?0时，h(x)取得最大值h(0)?2； ?????9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知：当?1?x?0时，h(x)?2，即ln(1?x)?x，????10分 当0?a?1时，?1?∴f(1?a)?f(2)?ln22.(本小题满分14分)
a?1?0 21?a?a?1?a?1． ?????12分，?ln?1???22?2?
x2y2如图，已知直线l:x?my?1过椭圆C:2?2?1的右焦点F，抛物线：x2?43y的焦点为椭圆
ab且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B 在直线g:x?4上的射影依次为点D、K、C的上顶点，
E.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
???????????????? （Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且MA??1AF,MB??2BF，当m变化时，探求?1??2
的值是否为定值？若是，求出?1??2的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？ 若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.
解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点F(1,0),∴c?1，
2抛物线x?43y的焦点坐标0,3
???b?3?b2?3 ?a2?b2?c2?4
x2y2?1?????3分 ?椭圆C的方程?43
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（Ⅱ）易知m?0，且l与y轴交于M?0,?设直线l交椭圆于A?x1,y1?,B?x2,y2?
??1??m?，
?x?my?1?由?x2y2??3m2?4?y2?6my?9?0
?1??3?4∴???6m??363m2?4?144m2?1?0
2
????∴y1?y2??
6m9?????6分 ,y?y??12223m?43m?4??1????1?1?x1,?y1? m?又由MA??1AF??x1,y1???????????1??1?1 my1
同理?2??1?1 my2
∴?1??2??2?1?11???? ??m?y1y2?∵
?3m2?4?2my1?y2116m?????2?????3 y1y2y1y293m?4???1?11?12m8?????2?????????9分 ??m?y1y2?m33∴?1??2??2?8；?????10分 3（Ⅲ）先探索，当m?0时，直线l?OX轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK所以，当m变化时， ?1??2的值为定值?的中点N，且N?,0?，
?2?
猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N?,0??????11分 证明：由（Ⅱ）知A?x1,y1?,B?x2,y2?，∴D(4,y1),E(4,y2)
?5??5?2??