江苏省宿迁中学2013届高三第二次调研测试
数学试题
命题 贺恒月 审校 史秀云
（满分160分 时间120分钟）
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1. 设集合U＝{1,2,3,4,5}，A={1,2}，B＝{2,3}，则(CUA)?B＝ ▲ 。 2. 若复数z满足z?(3?z)i（i是虚数单位），则复数z的虚部是 ▲ .
3. 4张卡片上分别写有数字0，1，2，3，从这4张卡片中一次随机抽取不同的2张，则取出的两张卡片上的数字之差的绝对值等于2的概率为 ▲ ． 4. 已知π≤?≤π，且sin??π?1，则cos?? ▲ ．
262??????5. 已知向量a?(?3,2),b?(?1,0)，且向量?a?b与a?2b垂直，则实数?的值是 ▲ .
6. 函数f(x)?x?2lnx单调递减区间是 ▲ 。
7. 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x?R都有f(x)?f(x?4)，当
??x?(?2,0)时，f(x)?2x，则f(2012)?f(2013)＝ ▲ 。
198. 若数列?an?中，an?，其前n项的和是，则在平面直角坐标系中，直线
n(n?1)10(n?1)x?y?n?0在y轴上的截距为 ▲ 。
9. 下列四个命题中，真命题的序号是 ▲ 。
①?m?R,使f(x)?(m?1)xm222?4m?3是幂函数；
②“若am?bm，则a?b”的逆命题为真； ③?a?0,函数f(x)?lnx?lnx?a有零点；
④命题“?x?R,都有x?3x?2?0”的否定是“?x?R,使得x?3x?2?0”
222x2y210. 已知B为双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左准线与x轴的交点，点A(0,b)，若满足
ab????????AP?2AB的点P在双曲线上，则该双曲线的离心率为 ▲ .
11. 已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y??x?b都不是曲线y?x3?3ax的切线，则实数a的取值范围是 ▲ ．
22212. 当且仅当a?r?b时，在圆x?y?r(r?0)上恰好有两点到直线2x+y+5=0的距离
为1，则a?b的值为 ▲ 。
13. 设实数a?1，若仅有一个常数c使得对于任意的x??a,3a?，都有y?[a,a2]满足方
程logax?logay?c，这时，实数a的取值的集合为 ▲ 。
14. 已知关于x的实系数一元二次不等式ax2?bx?c≥0 (a?b)的解集为R，则
M?a?3b?4c的最小值是 ▲ ．
b?a二．解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 15. (本题满分14分) 设函数f(x)?sin(2x??6)?cos2x?3sinx?cosx.
C51，f()?，求sinA.
223 (1). 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2). 设A,B,C为?ABC的三个内角，若cosB=
16．(本题满分14分)
如图，四边形ABCD是正方形，PB?平面ABCD，MA?平面ABCD，PB＝AB＝2MA.
求证：（1）平面AMD∥平面BPC； （2）平面PMD?平面PBD．
17. (本题满分14分)
D
C
A B
M P
己知某公司生产某品牌服装的年固定成木为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每销售一千件的收入为R(x)万元，
12?10.8?x (0?x?10)??30且R(x)??。（注：年利润＝年销售收入一年总成本）
?108?1000 (x?10)?3x2?x（1）写出年利润W（万元）关于年产品x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？
18. (本题满分16分)
设数列?an?的前n项和为Sn，且满足Sn?2?an，n=1,2,3,??. （1）求数列?an?的通项公式；
（2）若数列?bn?满足b1?1，且bn?1?bn?an，求数列?bn?的通项公式； （3）设cn?n(3?bn)，求数列?cn?的前n项和Tn.
19. （本小题满分16分）
22 已知圆O：x?y?8交x轴于A,B两点，曲线C是以AB为长轴，直线：x??4为
准线的椭圆．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若M是直线上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P,Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；
（3）如图所示，若直线PQ与椭圆C交于G,H两点，且EG?3HE，试求此时弦PQ的长．
20．（本题满分16分） 已知函数f(x)?MGyPAQHOBx1?lnx. x（1）若函数f(x)在区间(a,a?1)上有极值，求实数a的取值范围； （2）若关于x的方程f(x)?x?2x?k有实数解，求实数k的取值范围； （3）当n?N*，n?2时，求证：nf(n)?2?
2111??????. 23n?1数学Ⅱ（理科附加题）
???1????????11?221.已知矩阵A???，向量???2?．求向量?，使得A???． 21????
………………4分 ，
?11??11??11??32?2解：?A????A??21??21???43?21??????????? 设??= …………8分 ，则2?xA?????32??x??1???3x?2y??1????????43??y??2??4x?3y???2?y???????????? ，????1?． ………………10?3x?2y?1?x??1??,???????4x?3y?2y?2???2?分
?) (0≤??2π)中，求曲线??2sin?与?cos??1的交点Q的极坐标． 22.在极坐标系(?,解：以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系
22则曲线??2sin?可化为：x?(y?1)?1
曲线?cos??1化为x=1, ………………6分
?x2?(y?1)2?1 由?可得交点坐标（1，1），
x?1?所以交点Q的极坐标是(2,
23.用数学归纳法证明：
24．已知(1??4)………………10分
11119??????(n?1,且n?N?). n?1n?2n?33n101nx)展开式的各项依次记为a1(x),a2(x),a3(x),?an(x),an?1(x)． 2设F(x)?a1(x)?2a2(x)?3a3(x),??nan(x)?(n?1)an?1(x)． （1）若a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次成等差数列，求n的值；