2013年上海市17区县高三数学二模真题系列卷——长宁嘉定区数学（文科）
所以VA1?APB?11831． ………………6分 S?APB?AA1???23?2?4?3233（2）取AA1中点Q，连接OQ，PQ，则OQ//A1B，
得?POQ或它的补角为异面直线A1B 与OP所成的角. ………………8分 又AP?23，AQ?AO?2，得OQ?22，PQ?4，
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PO2?OQ2?PQ22由余弦定理得cos?POQ?， ………………10分 ??2PO?OQ4所以异面直线A1B 与OP所成角的大小为arccos2． ………………12分 4
20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 解：（1）由已知，b2?ac，所以由余弦定理，
a2?c2?b2a2?c2?ac得cosB? ………………2分 ?2ac2ac2ac?ac1由基本不等式a2?c2?2ac，得cosB??．………………4分
2ac2??1?所以cosB??,1?．因此，0?B?．………………6分
3?2?
1?sin2B(sinB?cosB)2?????sinB?cosB?2sin?B??， （2）y?sinB?cosBsinB?cosB4??………………9分
由（1），0?B?所以，y?[来源学§科§网Z§X§X§K]?3，所以
?4?B??4?7????2??，所以sin?B????,1?，
?124??2??1?sin2B的取值范围是1,2． ………………12分
sinB?cosB??
21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分） （理）解：（1）由题意，对任意x?R，f(?x)??f(x)， 即a?x?(k?1)ax??ax?(k?1)a?x， ………………2分
x?x即(k?1)(a?a)?(ax?a?x)?0，(k?2)(ax?a?x)?0，
因为x为任意实数，所以k?2． ………………4分
解法二：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)?0，即1?(k?1)?0，k?2．
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2013年上海市17区县高三数学二模真题系列卷——长宁嘉定区数学（文科）
当k?2时，f(x)?a?ax?x，f(?x)?a?x?ax??f(x)，f(x)是奇函数．
所以k的值为2． ………………4分 （2）由（1）f(x)?a?ax?x，因为f(1)?313，所以a??， 2a2解得a?2． ………………6分 故f(x)?2?2x?x，g(x)?22x?2?2x?2m(2x?2?x)，
?3?,???， ?2?令t?2x?2?x，则22x?2?2x?t2?2，由x?[1,??)，得t??所以g(x)?h(t)?t?2mt?2?(t?m)?2?m，t??222?3?,??? ?2?………………9分
39?3??3?时，h(t)在?,???上是增函数，则h????2，?3m?2??2， 24?2??2?25解得m?（舍去）． ………………11分
123当m?时，则f(m)??2，2?m2??2，解得m?2，或m??2（舍去）．
2当m?………………13分
综上，m的值是2． ………………14分
（文）解：（1）由题意，对任意x?R，f(?x)??f(x)，即a?x?(k?1)ax??ax?(k?1)a?x，
………………2分
即(k?1)(a?ax?x)?(ax?a?x)?0，(k?2)(ax?a?x)?0，
因为x为任意实数，所以k?2． ………………4分
解法二：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)?0，即1?(k?1)?0，k?2．
x?x?xx当k?2时，f(x)?a?a，f(?x)?a?a??f(x)，f(x)是奇函数．
所以k的值为2． ………………4分 （2）由（1）知f(x)?a?ax?x，由f(1)?0，得a?1?0，解得0?a?1． a………………6分
x?xx?x当0?a?1时，y?a是减函数，y??a也是减函数，所以f(x)?a?a是减函数．
………………7分
由f(x?tx)?f(4?x)?0，所以f(x?tx)??f(4?x)，………………8分 因为f(x)是奇函数，所以f(x?tx)?f(x?4)． ………………9分
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因为f(x)是R上的减函数，所以x2?tx?x?4即x?(t?1)x?4?0对任意x?R成立， ………………11分 所以△?(t?1)?16?0， ………………12分 解得?3?t?5． ………………13分
[来源:Zxxk.Com]22
所以，的取值范围是(?3,5)． ………………14分
22．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分） （理）解：（1）设P(x,y)，由题意，Q(x,?1)，QP?(0,y?1)，QF?(?x,2)，
FP?(x,y?1)，FQ?(x,?2)， ………………2分
由QP?QF?FP?FQ，得2(y?1)?x?2(y?1)，
化简得x?4y．所以，动点P的轨迹C的方程为x?4y． ………………4分 （2）轨迹C为抛物线，准线方程为y??1，
即直线m，所以M(0,?1)， ………………6分
222?y?kx?1,设直线m?的方程为y?kx?1（k?0），由?2 得x2?4kx?4?0，
?x?4y，由△?16k2?16?0，得k2?1． ………………8分 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2?4k，
2所以线段AB的中点为(2k,2k?1)， ………………9分
2所以线段AB垂直平分线的方程为(x?2k)?k[y?(2k?1)]?0，………………10分 令x?0，得y0?2k2?1． ………………11分
因为k2?1，所以y0?(3,??)． ………………12分
（3）由（2），x1?x2?4k，x1x2?4，所以|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2
?(1?k2)(x1?x2)2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?(1?k2)(16k2?16)
?4(k2?1)(k2?1)． ………………14分
假设存在点D(0,y0)，使得△ABD为等边三角形，
3|AB|． ………………15分 2|y0?1|2(k2?1)2因为D(0,2k?1)，所以d???2k2?1，………………16分
1?k2k2?14222所以2k?1?23k?1?k?1，解得k2?． ………………17分
3?11?所以，存在点D?0,?，使得△ABD为等边三角形． ………………18分
3??则D到直线AB的距离d?
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2013年上海市17区县高三数学二模真题系列卷——长宁嘉定区数学（文科）
（文）（1）设P(x,y)，由题意，Q(x,?1)，QP?(0,y?1)，QF?(?x,2)，
FP?(x,y?1)，FQ?(x,?2)， ………………2分
由QP?QF?FP?FQ，得2(y?1)?x2?2(y?1)，
化简得x?4y．所以，动点P的轨迹C的方程为x?4y．………………4分
（2）轨迹C为抛物线，准线方程为y??1，即直线m，所以M(0,?1)，……………5分 当a?0时，直线m?的方程为x?0，与曲线C只有一个公共点，故a?0．…………6分
22?x?ay?a,x2222所以直线m?的方程为?y?1，由?2 得ay?(2a?4)y?a?0，
a?x?4y，由△?4(a?2)?4a?0，得0?a2?1． ………………8分 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1?y2?所以x1?x2?2244?2，y1y2?1， 2a4，x1x2?4， ………………9分 a若FA?FB，则FA?FB?0，即(x1,y1?1)?(x2,y2?1)?0，
?4?x1x2?y1y2?(y1?y2)?1?0，4?1??2?2??1?0， ………………11分
?a?解得a2?21．所以a??． ………………12分
22??22?,2?1?，线段AB的垂直平分线的一个法向量为n?(a,1)，所?aa?垂
直
平
分
线
的
方
程
为
（3）由（2），得线段AB的中点为?以
线
段
AB的
2??2??a?x????y?2?1??0， ………………15分
a??a??2?1， ………………16分 2a2因为0?a2?1，所以2?1?3．
a令x?0，y0?所以y0的取值范围是(3,??)． ………………18分
23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）
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（理）解：（1）因为a，b，c是互不相等的正数，所以q?0且q?1． 由已知，a，b，c是首项为，公比为q的等比数列，则b?q，c?q，…2分
2?q?1?d当插入的一个数位于b，c之间， 设由4个数构成的等差数列的公差为d，则?2，消去d得
q?1?3d?2q2?3q?2?0，
因为q?1，所以q?2． ………………4分
（2）设所构成的等差数列的公差为d，由题意，d?0，共插入4个数．
………………5分 若在a，b之间插入个数，在b，c之间插入3个数，则?于是
?b?a?2d，
c?b?4d?b?ac?b2，2b?2a?c?b，q?3q?2?0，解得q?2．………………7分 ?24?b?a?4d若在a，b之间插入3个数，在b，c之间插入个数，则?，
c?b?2d?b?ac?b1于是，2c?2b?b?a解得q?（不合题意，舍去）． ………………9分 ?422?b?a?3d若a，b之间和b，c之间各插入2个数，则?，b?a?c?b，
?c?b?3d解得q?1（不合题意，舍去） ………………11分 综上，a，b之间插入个数，在b，c之间插入3个数． ………………12分
（3）设所构成的等差数列的公差为d，
b?ab?c，又c?b?(t?1)d，d?，…………14分 s?1t?1b?ac?bq?1q(q?1)t?1所以，即，因为q?1，所以???q．………………16分
s?1t?1s?1t?1s?1所以，当q?1，即a?b?c时，s?t；当0?q?1，即a?b?c时，s?t．
由题意，b?a?(s?1)d，d?………………18分
（文）（1）当n?1时，由已知a1?2(a1?1)，得a1?2．
当n?2时，由Sn?2(an?1)，Sn?1?2(an?1?1)，两式相减得an?2an?2an?1， 即an?2an?1，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以，an?2n（n?N*）． ………………4分 （2）由题意，an?1an?1?an2n?an?(n?1)d，故d?，即d?，………………6分
n?1n?12n?4，即3n?3?2n?4n?4，解得n?4，…………8分 因为3?d?4，所以3?n?1[来源学科网]长宁区、嘉定区2013高三数学二模(文科) 第10页
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1616．所以所得等差数列首项为16，公差为，共有6项．………………10分 536?(16?32)所以这个等差数列所有项的和T??144． ………………11分
2所以，n?4，T?144． ………………12分
所以d?
（3）由（1）知f(n)?2n，所以cn?n?f(n?log2m)?n?2n?log2m?n?2n?log2m
2?n?22n?log2m?n?(2log2m)2n?n?m2n．………………14分
由题意，cn?1?cn，即(n?1)?m所以m2?2n?2?n?m2n对任意n?N*成立，
n1对任意n?N*成立．………………16分 ?1?n?1n?111因为g(n)?1?在n?N*上是单调递增的，所以g(n)的最小值为g(1)?．
n?12?12??． 所以m2?．由m?0得m的取值范围是?0,?22???所以，当m??0,
???2??时，数列{cn}是单调递减数列． ………………18分 2??长宁区、嘉定区2013高三数学二模(文科) 第11页