中小学1对1课外辅导专家 点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力、万有引力）以外再添加一个向心力． （2）由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变的运动，故只存在向心加速 度，物体受的外力的合力就是向心力。显然物体做匀速圆周运动的条件是：物体的合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 2、向心力的确定 （1）确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置， （2）分析圆周运动物体所受的力,作出受力图,最后找出这些力指向圆心方向的合外力就是向心力． 3、变速圆周运动向心力的分析向心力来源的步骤同分析匀速圆周运动向心力来源的步骤相向．但要注意， （1）一般情况下，变速圆周运动的向心力是合外为沿半径方向的分力提供． （2）分析竖直面上变速圆周运动的向心力的来源时，通常有细绳和杆两种模型． v（3）当物体所受的合外力小于所需要提供的向心力时，即F向＜m时，物体做离心运动；当物体所受的合外力大r2v于所需要的向心力，即F向＞m时，物体做向心运动。 r2【例1】有一辆质量为1.2t的小汽车驶上半径为50m的圆弧形拱桥。问： （1）汽车到达桥顶的速度为10m/s时对桥的压力是多大？ （2）汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥没有压力作用而腾空？ （3）设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度要多大？ (重力加速度取10 m/s2，地球半径R取6.4×10km) 3 v12解析：（1）根据牛顿第二定律:mg?FN?m rv12??FN?9.6?103N ?9.6?103N，根据牛顿第三定律:FN解得：FN?mg?mr2v2(2) 根据牛顿第二定律:mg?m r解得：v2?gr?105m/s(或22.4m/s) 2v3(3) 根据牛顿第二定律:mg?m R解得：v3?gR?8?103m/s 点评：圆周运动的一般解题步骤： 精锐教育网站：www.1smart.org - 6 -
中小学1对1课外辅导专家 1、首先确定圆周运动的轨道所在的平面 2、其次找出圆心所在的位置 3、然后分析受力情况，作出受力图，指向圆心的合外力就是向心力 （二）圆周运动的临界问题 1、“轻绳”模型 （1）绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 （2）临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv/R→v临界=Rg（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度） （3）①如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度V临≠Rg ②能过最高点的条件：v≥Rg，当V＞Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：V＜V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道） 2、如图（a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况： 2 （1）杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． ①当v＝0时，N＝mg（N为支持力） ②当 0＜v＜Rg时， N随v增大而减小，且mg＞N＞0，N为支持力． ③当v=Rg时，N＝0 ④当v＞Rg时，N为拉力，N随v的增大而增大（此时N为拉力，方向指向圆心） 管壁支撑情况与杆子一样 若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动．因为轨道对小球不能产生拉力． （2）如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度V0?gR 。要具体问题具体分析，但分析方法是相同的。 【例2】如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，已知O点到斜面底边的距离sOC=L，求： 精锐教育网站：www.1smart.org
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中小学1对1课外辅导专家 (1）小球通过最高点A时的速度vA． (2）小球通过最低点B时，细线对小球的拉力． (3）小球运动到A点或B点时细线断裂，小球滑落到斜面底边时到C点的距离若相等，则l和L应满足什么关系？ 解析：(1) 小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，刚小球通过A点时细线的拉力为零，根据圆周运动和牛顿第二定律有： v2mgsin?=mA l解得：vA=glsin? （2）小球从A点运动到B点，根据机械能守恒定律有： 112mv2+mg?2lsin?=mvB A22解得： vB=5glsin? 小球在B点时根据圆周运功和牛顿第二定律有 2vBT-mgsin?=m l解得： T=6mgsin? （3）小球运动到A点或B点时细线断裂，小球在平行底边方向做匀速运动，在垂直底边方向做初速为零的匀加速度运动〔 类平抛运动） 12atA, sA=vAtA 212 细线在B点断裂：L-l=atB, sB=vBtB 2细线在A点断裂：L+l=又sA=sB 联立解得：L=3l 232答案：⑴vA=glsin? ⑵T=6mgsin? ⑶L=l 【例1】如图所示，杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，大家讨论一下满足什么条件水才能从水桶中流出来.若水的质量m=0.5 kg，绳长l=60 cm，求： 精锐教育网站：www.1smart.org - 8 -
中小学1对1课外辅导专家 （1）最高点水不流出的最小速率。 （2）水在最高点速率v=3 m/s时，水对桶底的压力。 解析：（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力 2v0即mg≤m l则所求最小速率v0=gl?0.6?9.8m/s=2.42 m/s. （2）当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为FN，由牛顿第二定律有 v2 FN+mg=m lv2 FN=m-mg=2.6 N l 由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力FN′=FN=2.6 N，方向竖直向上. 答案：(1)2.42 m/s (2)2.6 N，方向竖直向上 提示：抓住临界状态，找出临界条件是解决这类极值问题的关键. 【例2】为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施了投弹爆破，飞机在河道上空高H处以速度v0水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标。求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小。（不计空气阻力） （2）如图17所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为m的小物块。求 ①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小； ②当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的 角速度。 解析：⑴炸弹作平抛运动，设炸弹脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离为x, x?v0t H?联立以上各式解得x?v012gt 22H g精锐教育网站：www.1smart.org
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中小学1对1课外辅导专家 设击中目标时的竖直速度大小为vy，击中目标时的速度大小为v vy?gt?22?vy 2gH v?v0联立以上各式解得v?v0?2gH ⑵①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，由平衡条件得 摩擦力的大小f?mgsin??2HH?RRH?R222 支持力的大小N?mgcos??2 ②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为?有 R 2H 由几何关系得 tan?? R2 mgtan??m??联立以上各式解得??2gH R 【例3】汽车与路面的动摩擦因数为? ，公路某转弯处半径为R（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），问： （1）若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？ （2）若将公路转弯处路面设计成外侧高、内侧低，使路面与水平面有一倾角? ，如图所示，汽车以多大速度转弯时，可以使车与路面间无摩擦力？ FN 解析：在路面水平的情况下，汽车转弯所需的向心力是由汽车和路面之间的静摩擦力来提供的，当公路转弯处是外高内低的斜面时，重力和斜面的支持力将在水平方向上提供一个合力，加上和路面的静摩擦力来提供向心力，此时，在同样的情况下，所需的静摩擦力就减小。 （1）汽车在水平路面上转弯时，汽车转弯的向心力由静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大时，汽车的转弯速度最大。由 F合 υ2?mg＝m r解得 v＝μgr mg (2) 当转弯处路面倾斜，且重力和支持力的合力恰等于向心力时，此转弯速度最为理想，则有 mg tan?＝精锐教育网站：www.1smart.org
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