中小学1对1课外辅导专家 υ2m r解得 v＝grtanα 【例4】如图，质量为0.5 kg的小杯里盛有1 kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1 m，小杯通过最高点的速度为4 m/s，g取10 m/s2，求： （1）在最高点时，绳的拉力？ （2）在最高点时水对小杯底的压力？ （3）为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少? 解析：不论取杯子和杯子里的水为研究对象，还是只研究杯子里的水，这两种情况都属于线拉物体的模型，而这种模型中在最高点的研究是一个重点和难点。 (1) 求绳的拉力时，选杯子和杯子里的水这个整体为研究对象，它们做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力T的合力。则有 υ2 mg＋T＝m 代入数据，解得T＝9N r(2) 求水对杯底的压力，应该以水为研究对象，先求杯底对水的压力，然后根据牛顿第三定律得到水对杯底的压力。水做圆周运动的向心力是重力和杯底对水的压力N的合力。即 υ2mg＋N＝m 代入数据解得N＝3 N r(3) 水不从杯子里流出的临界情况是水的重力刚好都用来提供向心力。即 υ2mg＝m 解得v＝10m/s r 课堂练习 1、火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法中正确的是 （ ） ①当以速度v通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力 ②当以速度v通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力 ③当速度大于v时，轮缘挤压外轨 ④当速度小于v时，轮缘挤压外轨 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 答案：A 2、用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是 （ ） A．小球在圆周最高点时所受向心力一定是重力 B．小球在圆周的最高点时绳子的拉力不可能为零 C．小球在圆周最低点时拉力一定大于重力 D．若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点速率是gl 答案：CD 精锐教育网站：www.1smart.org
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中小学1对1课外辅导专家 3、如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ） A．a处为拉力，b处为拉力 B．a处为拉力，b处为推力 C．a处为推力，b处为拉力 D．a处为推力，b处为推力 答案：AB 4、市内公共汽车在到达路口转弯前，车内广播中就要播放录音：“乘客们请注意，前面车辆转弯，请拉好扶手”，这样可以 （ ） A．提醒包括坐着和站着的全体乘客均拉好扶手，以免车辆转弯时可能向前倾倒 B．提醒包括坐着和站着的全体乘客均拉好扶手，以免车辆转弯时可能向后倾倒 C．主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转弯时可能向转弯的外侧倾倒 D．主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转弯时可能向转弯的内侧倾倒 答案：C 5、一根长l=0.625 m的细绳，一端拴一质量m=0.4 kg的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求： （1）小球通过最高点时的最小速度; （2）若小球以速度v=3.0 m/s通过圆周最高点时，绳对小球的拉力多大？若此时绳突然断了，小球将如何运动? 分析与解答：（1）小球通过圆周最高点时，受到的重力G=mg必须全部作为向心力F向，否则重力G中的多余部分将把小球拉进圆内，而不能实现沿竖直圆周运动.所以小球通过圆周最高点的条件应为F向≥mg，当F向=mg时，即小球受到的重力刚好全部作为通过圆周最高点的向心力，绳对小球恰好不施拉力，如图所示，此时小球的速度就是通过圆2v0周最高点的最小速度v0，由向心力公式有：mg=m l2v0解得：G=mg=m lv0=gl?10?0.625m/s=2.5 m/s. （2）小球通过圆周最高点时，若速度v大于最小速度v0，所需的向心力F向将大于重力G，这时绳对小球要施拉力F，v2如图所示，此时有F+mg=m lv23.02解得：F=m-mg=(0.4×-0.4×10)N=1.76 N l0.625精锐教育网站：www.1smart.org - 12 -
中小学1对1课外辅导专家 v2若在最高点时绳子突然断了，则提供的向心力mg小于需要的向心力m，小球将沿切线方向飞出做离心运动（实l际上是平抛运动）。 课堂小结 1、向心力的来源：要从力的方面认真分析，搞清谁来提供物体做圆周运动所需的向心力，能提供多大的向心力，是否可以变化。 2、合外力与向心力的关系：从运动的物理量本身去认真分析，看看物体做这样的圆周运动究竟需要多大的向心力。如果供需双方正好相等，则物体将做稳定的圆周运动；如果供大于需，则物体将偏离圆轨道，逐渐靠近圆心；如果供小于需，则物体将偏离圆轨道，逐渐远离圆心；如果外力突然变为零，则物体将沿切线方向做匀速直线运动。 3、圆周运动中向心力的特点： （1）匀速圆周运动：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故只存在向心加速度，物体受到外力的合力提供向心力。可见，合外力大小不变，速度方向始终与速度方向垂直且指向圆心，是物体做匀速圆周运动的条件。 （2）变速圆周运动：速度大小发生变化，向心加速度和向心力都会相应变化。求物体在某一点受到的向心力时，应使用该点的瞬时速度。在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心。合外力沿半径方向的分力提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向；合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。 、 课后练习题： 1、如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是 （ ） A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力 B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零 C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力 gL 答案：CD 2、若地球表面的重力加速度为g0，以第一宇宙速度在圆轨道上运动的人造地球卫星的周期为T0，则在离地球表面不同高度运动的人造地球卫星的周期、加速度为( ) A．周期不能大于T0 B．周期不能小于T0 C．加速度不会大于g0 D．加速度不会小于g0 精锐教育网站：www.1smart.org
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中小学1对1课外辅导专家 答案：BC 3、如图所示，小球m从A点以l0m／s的初速度沿固定的竖直圆弧轨道A滑下，并始终没有脱离圆弧轨道，到达C点速度仍为10m／s．现让小球以5m／s的 速度仍从A点滑下，则到达C点时，小球的速度 （ ） A．仍为5m/s B．小于5m／s C．大于5m／s D．无法判断 答案：C 4、 如图3所示，从光滑的1/4圆弧槽的最高点滑下的小滑块，滑出槽口时速度方向为水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面为水平，若要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为R1，半球的半径为R2，则R1和R2应满足的关系是 ( ) A．R1?R2 B．R1?R22 R22 C．R1?R2 D．R1? 答案：D 5、一个航天飞行器甲在高空绕地球做匀速圆周运动，若它沿与运动方向相反的方向发射一枚火箭乙，则( ) A．甲和乙都可能在原高度绕地球做匀速圆周运动 B．甲可能在原高度绕地球做匀速圆周运动，乙不可能在原高度做匀速圆周运动 C．乙可能在原高度绕地球做匀速圆周运动，甲不可能在原高度做匀速圆周运动 D．甲和乙都不可能在原高度绕地球做匀速圆周运动 答案：C 6、如图所示，质量为m的小球在竖直面内的光滑圆形轨道内侧做圆周运动，通过最高点且刚好不脱离轨道时的速度为v，则当小球通过与圆心等高的A点时，对轨道内侧的压力大小为 （ ） A．mg B．2mg 精锐教育网站：www.1smart.org - 14 -
中小学1对1课外辅导专家 C．3mg D．5mg 答案：C 7、如图．半圆形的光滑轨道槽竖直放置．质量为m的小物体由顶端从静止开始下滑．则物体在经过槽底时，对槽底的压力大小为( ) A．2mg B.3mg C．mg D．5mg 答案：B 8、两质量相等的小球A和B，A球系在一根不可伸长的细绳的一端，B球系在一根原长小于细绳的橡皮绳一端，两绳的另一端都固定在O点，不计两绳质量．现将两球都拉到如图所示的水平位置上，让两绳均拉直（此时橡皮绳为原长），然后无初速释放，当两球通过最低点时，橡皮绳与细绳等长，小球A和B速度分别为vA和vB，那么 A．下落时A、B都克服绳的拉力做了功 B．下落时重力对小球A、B所做的功不相等 C．在最低点时vA?vB D．在最低点时vA?vB 答案：D 9、下图是上海锦江乐园新建的“摩天转轮”，它的直径达98米；世界排名第五。游人乘坐时，转轮始终不停地匀速转动，每转一周用时25分钟，每个箱轿共有6个座位。 试判断下列说法中正确的是（ ） A.每时每刻，每个人受到的合力都不等于零 B．每个乘客都在做加速度为零的匀速运动 C．乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变 精锐教育网站：www.1smart.org
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