第1讲 直线与圆
[考情考向分析] 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)．此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现．
热点一 直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程
要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，
l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝
|C1－C2|22
(A＋B≠0)． A2＋B2
|Ax0＋By0＋C|22
(A＋B≠0)． 22A＋B(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝例1 (1)已知直线l1：x·sin α＋y－1＝0，直线l2：x－3y·cos α＋1＝0，若l1⊥l2，则sin 2α等于( ) 2333A. B．± C．－ D. 3555答案 D
解析 因为l1⊥l2，所以sin α－3cos α＝0， 所以tan α＝3，
2sin αcos α所以sin 2α＝2sin αcos α＝2 2
sinα＋cosα＝
2tan α3
＝. 21＋tanα5
(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．
1
答案 32
解析 由题意得，当k≠0时，直线l1：kx－y＋2＝0的斜率为k，且经过点A(0,2)，直线
l2：x＋ky－2＝0的斜率为－，且经过点B(2,0)，且直线l1⊥l2，所以点P落在以AB为直
k径的圆C上，其中圆心坐标为C(1,1)，半径为r＝2， 由圆心到直线x－y－4＝0的距离为d＝1
|1－1－4|
2
＝22，
所以点P到直线x－y－4＝0的最大距离为
d＋r＝22＋2＝32.
当k＝0时，l1⊥l2，此时点P(2,2)．
|2－2－4|
点P到直线x－y－4＝0的距离d＝＝22.
2综上，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为32.
思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况． (2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．
跟踪演练1 (1)直线ax＋(a－1)y＋1＝0与直线4x＋ay－2＝0互相平行，则实数a＝________. 答案 2
aa－11
解析 当a≠0时，＝≠，
4a－2
解得a＝2.
当a＝0时，两直线显然不平行．故a＝2.
(2)圆x＋y－2x－4y＋3＝0的圆心到直线x－ay＋1＝0的距离为2，则a等于( ) A．－1 C．1 答案 B
解析 因为(x－1)＋(y－2)＝2，
2
2
2
2
B．0 D．2
|1－2a＋1|
所以＝2，所以a＝0. 2
1＋a热点二 圆的方程及应用 1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)＋(y－b)＝r，特别地，当圆心在原点时，方程为x＋y＝r. 2．圆的一般方程
2
2
2
2
2
2
2
DE?D2＋E2－4F?x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D＋E－4F>0，表示以?－，－?为圆心，为半径的2?2?2
2
2
2
2
圆．
例2 (1)圆心为(2,0)的圆C与圆x＋y＋4x－6y＋4＝0相外切，则C的方程为( ) A．x＋y＋4x＋2＝0 B．x＋y－4x＋2＝0 C．x＋y＋4x＝0 D．x＋y－4x＝0 答案 D
解析 圆x＋y＋4x－6y＋4＝0， 即(x＋2)＋(y－3)＝9， 圆心为(－2,3)，半径为3. 设圆C的半径为r.
由两圆外切知，圆心距为?2＋2?＋?0－3?＝5＝3＋r， 所以r＝2.
故圆C的方程为(x－2)＋y＝4， 展开得x＋y－4x＝0.
(2)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( ) A.(x＋3)＋(y－1)＝1
2
2
2
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2
2
2
2
B.(x－3)＋(y＋1)＝1
2
2
C.(x＋3)＋(y＋1)＝1
2
2
D.(x－3)＋(y－1)＝1
2
2
答案 C
解析 到两直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联
?3x－4y＋5＝0，?
立方程组?
??y＝－x－4，
2
解得?
2
?x＝－3，?
??y＝－1.
两平行线之间的距离为2，所以半径为1，从
而圆M的方程为(x＋3)＋(y＋1)＝1.故选C. 思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
跟踪演练2 (1)(2016·浙江)已知a∈R，方程ax＋(a＋2)y＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 答案 (－2，－4) 5
3
22
2
解析 由已知方程表示圆，则a＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a＝－1时，原方程为x＋y＋4x＋8y－5＝0， 化为标准方程为(x＋2)＋(y＋4)＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．
(2)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________． 答案 x＋y－2x＝0
解析 方法一 设圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
F＝0，??
∴?2＋D＋E＋F＝0，??4＋2D＋F＝0，
2
2
D＝－2，??
解得?E＝0，
??F＝0.
∴圆的方程为x＋y－2x＝0. 方法二 画出示意图如图所示，
则△OAB为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x－1)＋y＝1， 即x＋y－2x＝0.
热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则d
(2)判别式法：设圆C：(x－a)＋(y－b)＝r，直线l：Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0)，方程组
?Ax＋By＋C＝0，?
?222???x－a?＋?y－b?＝r2
2
2
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2
2
2
2
2
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线
与圆相离?Δ<0，直线与圆相切?Δ＝0，直线与圆相交?Δ>0. 2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．
设圆C1：(x－a1)＋(y－b1)＝r1，圆C2：(x－a2)＋(y－b2)＝r2，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：
2
2
2
2
2
2
4
(1)d>r1＋r2?两圆外离． (2)d＝r1＋r2?两圆外切． (3)|r1－r2| 例3 (1)(2018·杭州质检)设圆C1：x＋y＝1与圆C2：(x－2)＋(y＋2)＝1，则圆C1与圆 2 2 2 2 C2的位置关系是( ) A．外离 C．相交 答案 A 解析 圆心距为2＋?－2?＝22>1＋1， 故两圆外离． (2)(2018·湖州、衢州、丽水三地市模拟)若c∈R，则“c＝4”是“直线3x＋4y＋c＝0与圆 2 2 B．外切 D．内含 x2＋y2＋2x－2y＋1＝0相切”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 将圆的方程化为标准方程，得(x＋1)＋(y－1)＝1，若直线与圆相切，则有|－1×3＋1×4＋c|2 ＝1，解得c＝4或c＝－6，所以“c＝4”是“直线3x＋4y＋c＝0与圆x22 3＋4＋y＋2x－2y＋1＝0相切”的充分不必要条件，故选A. 思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量． (2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题． 跟踪演练3 (1)已知直线y＝ax与圆C：x＋y－2ax－2y＋2＝0交于两点A，B，且△CAB为等边三角形，则圆C的面积为________． 答案 6π 解析 圆C化为(x－a)＋(y－1)＝a－1， 且圆心C(a,1)，半径R＝a－1(a>1)． ∵直线y＝ax与圆C相交，且△ABC为等边三角形， 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2