∴圆心C到直线ax－y＝0的距离为
Rsin 60°＝2
32
×a－1， 2
2|a－1|3?a－1?即d＝2＝. 2a＋1解得a＝7.
∴圆C的面积为πR＝π(7－1)＝6π.
(2)如果圆(x－a)＋(y－a)＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3) C．[1,1]
D．[－3，－1]∪[1,3] 答案 D
解析 圆心(a，a)到原点的距离为|2a|，半径r＝22，圆上的点到原点的距离为d.因为圆(x－a)＋(y－a)＝8上总存在到原点的距离为2的点，则圆(x－a)＋(y－a)＝8与圆x2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
＋y＝2有公共点，r′＝2，所以r－r′≤|2a|≤r＋r′，即1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1，所以实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3].
真题体验
1．(2016·山东改编)已知圆M：x＋y－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)＋(y－1)＝1的位置关系是________． 答案 相交
解析 ∵圆M：x＋(y－a)＝a， ∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1＝a， |a|
圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，
2
2
2
2
2
22
2
?|a|?222
由几何知识得??＋(2)＝a，解得a＝2.
?2?
∴M(0,2)，r1＝2.
又圆N的圆心坐标为N(1,1)，半径r2＝1， ∴|MN|＝?1－0?＋?1－2?＝2.
22 6
又r1＋r2＝3，r1－r2＝1，
∴r1－r2<|MN| 2．(2016·上海)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1，l2的距离是________． 答案 25 5 2 2 3．(2018·全国Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x＋y＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________. 答案 22 解析 由x＋y＋2y－3＝0，得x＋(y＋1)＝4. ∴圆心C(0，－1)，半径r＝2. |1＋1| 圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝2， 2∴|AB|＝2r－d＝24－2＝22. 4．(2018·全国Ⅲ改编)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)＋y＝2上，则△ABP面积的取值范围是________． 答案 [2,6] 解析 设圆(x－2)＋y＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝2，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为22，可得dmax＝22＋r＝32， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dmin＝22－r＝2.由已知条件可得|AB|＝22，所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6， 1 △ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2. 2综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]． 押题预测 1．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为( ) A.?x±B.?x±2 12 ???? 43?22 ?＋y＝3 3?13?22 ?＋y＝3 3? C．x＋?y±D．x＋?y± 2 ???? 3?24?＝ 3?33?21?＝ 3?3 押题依据 直线和圆的方程是高考的必考点，经常以选择题、填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用． 7 答案 C 2π 解析 由已知得圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对的圆心角为.设圆心坐标为(0，a)， 3半径为r， ππ23 则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝， 3334332 即r＝，|a|＝，即a＝±， 333故圆C的方程为x＋?y±2 ? ?3?24?＝. 3?3 2 2 2．设m，n为正实数，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－4＝0与圆x＋y－4x－4y＋4＝0相切，则 mn( ) A．有最小值1＋2，无最大值 B．有最小值3＋22，无最大值 C．有最大值3＋22，无最小值 D．有最小值3－22，最大值3＋22 押题依据 直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大． 答案 B 解析 由直线(m＋1)x＋(n＋1)y－4＝0与圆(x－2)＋(y－2)＝4相切，可得 2|m＋n|?m＋1?＋?n＋1? 2 2 2 2 ＝2，整理得m＋n＋1＝mn.由m，n为正实数可知，m＋n≥2mn(当且仅当m2 ＝n时取等号)，令t＝mn，则2t＋1≤t，因为t>0，所以t≥1＋2，所以mn≥3＋22.故mn有最小值3＋22，无最大值．故选B. 3．若圆x＋y＝4与圆x＋y＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为22，则a＝________. 押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路． 答案 10 2 2 2 2 2 2 2 ??x＋y＝4， 解析 联立两圆方程?22 ?x＋y＋ax＋2ay－9＝0，? 可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为 |－5| a2＋4a＝2 5 a(a>0)． 8 故22－? 2 5?5?22 ?＝22，解得a＝2， ?a? 10. 2 因为a>0，所以a＝ A组 专题通关 3πxy1．若<α<2π，则直线＋＝1必不经过( ) 2cos αsin αA．第一象限 C．第三象限 答案 B 解析 令x＝0，得y＝sin α<0，令y＝0，得x＝cos α>0，直线过(0，sin α)，(cos α，0)两点，因而直线不过第二象限． 2．设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，P，Q分别为l1，l2上任意1 两点，点M为P，Q的中点，若|AM|＝|PQ|，则m的值为( ) 2A．2 C．3 答案 A 解析 根据题意画出图形，如图所示． B．－2 D．－3 B．第二象限 D．第四象限 直线l1：x－2y＋1＝0 与直线l2：mx＋y＋3＝0 的交点为A，M 为PQ 的中点， 1 若|AM|＝|PQ|， 2则PA⊥QA， 即l1⊥l2，∴1×m＋(－2)×1＝0，解得m＝2. 3．(2018·浙江省温州六校协作体联考)直线x＋ay＋2＝0与圆x＋y＝1相切，则a的值为( ) 2 2 9 A.3 3 3 B．－3 3 C．±D．±3 答案 D 解析 因为直线x＋ay＋2＝0与圆x＋y＝1相切，所以圆心(0,0)到直线x＋ay＋2＝0的距离等于圆的半径，即 21＋a222 2 ＝1，解得a＝±3，故选D. 2 2 4．与直线x－y－4＝0和圆x＋y＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是( ) A．(x＋1)＋(y＋1)＝2 2 2 B．(x－1)＋(y＋1)＝4 2 2 C．(x－1)＋(y＋1)＝2 2 2 D．(x＋1)＋(y＋1)＝4 2 2 答案 C 解析 圆x＋y＋2x－2y＝0的圆心为(－1,1)，半径为2，过圆心(－1,1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，所求的圆心在此直线上，又圆心(－1,1)到直线x－y－4＝0的距离为 62 ＝32，则所求圆的半径为2，设所求圆心为(a，b)，且圆心在直线x－y－4＝ 2 2 |a－b－4| 0的左上方，则＝2，且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1(a＝3，b＝－3不符合半径 2最小，舍去)，故所求圆的方程为(x－1)＋(y＋1)＝2. 2 2 5．已知点P是直线l：x＋y－b＝0上的动点，由点P向圆O：x＋y＝1引切线，切点分别为M，N，且∠MPN＝90°，若满足以上条件的点P有且只有一个，则b等于( ) A．2 B．±2 C.2 D．±2 答案 B 解析 由题意得∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，|MO|＝|ON|＝1， ∴四边形PMON是正方形， ∴|PO|＝2， ∵满足以上条件的点P有且只有一个， ∴OP垂直于直线x＋y－b＝0， ∴2＝ |－b| ，∴b＝±2. 1＋1 22 6．(2018·浙江省温州六校协作体联考)过点P(－3,0)作直线2ax＋(a＋b)y＋2b＝0(a，b不同时为零)的垂线，垂足为M，已知点N(2,3)，则当a，b变化时，|MN|的取值范围是( ) 10