安 阳 师 范 学 院
微分中值定理及其应用
张庆娜
（安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳455002）
摘 要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用
定理3.2（罗尔中值定理） 若函数f(x)满足如下条件： （1）f(x)在闭区间[a,b]上连续； （2）f(x)在开区间(a,b)内可导； （3）f(a)?f(b),
则在开区间(a,b)内至少存在一点?,使得
f?(?)?0.
定理3.3（拉格朗日中值定理） 若函数f(x)满足如下条件： （1）f(x)在闭区间[a,b]上连续； （2）f(x)在开区间(a,b)内可导； 则在开区间(a,b)内至少存在一点?,使得
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f(b)?f(a).
b?a定理3.4（柯西中值定理） 若函数f(x),g(x)满足如下条件： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3）f?(x),g?(x)不同时为零； （4）g(a)?g(b)；
f?(?)?则在开区间?a,b?内存在一点?,使得
f?(?)f(b)?f(a). ?g?(?)g(b)?g(a)注 上面各定理的条件是充分的,但不是必要的. 4 微分中值定理的应用 4.1 证明有关等式
在证明一些出现导数的等式时,进行适当的变形后,考虑应用微分中值定理加以证明.还有,就是我们在证明一些与中值定理有关的题目时,构造辅助函数是解决问题的关键.在证明题中巧妙选用和构造辅助函数,进行系统分析和阐述,从而证明相关结论.
例4.1.1[5]f(x)是定义在实数集R上的函数,若对任意x,y?R,有f(x)?f(y)?M(x?y)2,其中M是常数,则f(x)是常值函数.
证明 对任意x?R,x的改变量为?x,由条件有f(x??x)?f(x)?M(?2x),即
f(x??x)?f(x)?M?x,
?x两边关于?x?0取极限得
0?lim?x?0f(x??x)?f(x)?limM?x?0 ?x?0?x所以f?(x)?0.
由中值定理f(x)?f(0)?f?(?)x?0,即f(x)?f(0), 故在R上f(x)是常值函数.
思路总结 要想证明一个函数f(x)在某区间上恒为常数一般只需证明该函数的导函数f?(x)在同一区间上恒为零即可.
1x?12x?1例4.1.2[2] 设f(x)?1x?23x?2,证明：存在??(0,1),使得f?(?)?0.
1x?34x?31?1?1证明 由于f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)?1?2?2?0,
1?3?3101f(1)?1?11?0 .符合罗尔中值定理的条件,故存在??(0,1),使f?(?)?0
1?21例4.1.3 若f(x)在[0,1]上有三阶导数,且f(0)?f(1)?0,设F(x)?x3f(x),试证在(0,1)内至少存在一个?,使F???(?)?0.
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证明 由题设可知F(x),F?(x),F??(x),F???(x)在[0,1]上存在,又F(0)?F(1),由罗尔中值定理,??1?(0,1)使
F?(?1)?0,
?1]满足罗尔中值定理,于是又F?(0)?[3x2f(x)?x3f?(x)]|x?0?0可知F?(x)在上[0,??2?(0,?1),使得
F??(?2)?0, 又F??(0)?[6xf(x)?6x2f?(x)?x3f??(x)]|x?0?0对F??(x)存在??(0,?2)?(0,?1)?(0,1),使 F???(?)?0.
.
例4.1.5 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,0?a?b,试证：??,??(a,b)使a?bf?(?)?f?(?).
2?证明 由于0?a?b,f(x),g(x)?x2,g?(x)?2x?0,x?(a,b)
由于f(x),g(x)在[a,b]上满足柯西中值定理 ,所以???(a,b)使
f?(?)f(b)?f(a) ?222?b?af?(?)f(b)?f(a)?(b?a)??f?(?),??(a,b)
2?b?a由上面二式可得??,??(a,b)使得：
a?bf?(?)?f?(?).
2?例4.1.6 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)?0,f(1)?1.试证：对任意给定的正数a,b在(0,1)内不同的?,?使
ab??a?b. f?(?)f?(?)a证明 由于a,b?0所以0??1.
a?b又由于f(x)在[0,1]上连续且f(0)?0,f(1)?1.由介值性定理,???(0,1)使得
a, f(?)?a?bf(x)在[0,?],[?,1]上分别用拉格朗日中值定理有
f(?)?f(0)??f?(?),??(0,?)
即
f(?)??f?(?),??(0,?)
f(1)?f(?)?(1??)f?(?),??(?,1)
即
1?f(?)?(1??)f?(?),??(?,1)
于是由上面两式有
1?f(?)b1????
f?(?)(a?b)f?(?)f(?)a???
f?(?)(a?b)f?(?)第 2 页
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将两式相加得
1?ab ???(a?b)f(?)(a?b)f(?)即
ab??a?b. f?(?)f?(?)小结 大体上说,证明在某区间内存在?,?满足某种等式的方法是： ①用两次拉格朗日中值定理.
②用一次拉格朗日中值定理,一次罗尔中值定理. ③两次柯西中值定理.
④用一次拉格朗日中值定理,一次柯西中值定理. 4.2 证明不等式
在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决.
例4.2.1[3] 设 ⑴f(x),f?(x)在[a,b]上连续；
⑵f??(x)在(a,b)内存在； ⑶f(a)?f(b)?0;
⑷在(a,b)内存在点c,使得f(c)?0;
求证在(a,b)内存在?,使f??(?)?0.
证明 由题设知存在x1?(a,b),使f(x)在x?x1处取得最大值,且由⑷知f(x1)?0,x?x1也是极大值点,所以
f?(x1)?0.
f??(?)由泰勒公式：f(a)?f(x1)?f?(x1)(a?x1)?(a?x1)2,??(a,x1).
2!所以f??(?)?0.
a?baa?b例4.2.2 设0?b?a,证明. ?ln?abb证明 显然等式当且仅当a?b?0时成立. 下证 当0?b?a时,有
a?baa?b ① ?ln?abb作辅助函数f(x)?lnx,
则f(x)在[b,a]上满足拉格朗日中值定理,则???(b,a)使
lna?lnb1? ②
a?b?由于0?b???a,所以
111 ?? ③ a?b1lna?lnb1由②③有??,即
aa?bba?baa?b. ?ln?abb小结 一般证明方法有两种
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①利用泰勒定理把函数f(x)在特殊点展开,结论即可得证. ②利用拉格朗日中值定理证明不等式,其步骤为：
第一步 根据待证不等式构造一个合适的函数f(x),使不等式的一边是这个函数在区间[a,b]上的增量f(b)?f(a)；
第二步 验证f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,并运用定理,使得等式的另一边转化为f?(?)(b?a)；
第三步 把f?(?)适当放大或缩小.
4.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题
例4.3.1 设函数在x?x0点的某一邻域内可导,且其导数f?(x)在x0连续,而?n?x0??nf(?n)?f(?n)当n??时?n?x0,?n?x0,求 lim.
n???n??n解 设{?n},{?n}?u0(x0),则由拉格朗日中值定理有 f(?n)?f(?n)?f?(?n),(?n??n??n).
?n??n已知?n?x0(n??),又f?(x)在x0连续,即f?(x0)?limf?(x),所以
x?x0n??x?x?n??n例4.3.2 若f(x)在(a,??)内可导,且lim[f(x)?f?(x)]?0,求limf(x).
n??0limf(?n)?f(?n)?limf?(?n)?limf?(x)?f?(x0).
x??x??x)]ex?f[x(ex)?,]分析 由式[f(x)?f?(引进辅助函数F(x)?f(x)ex,g(x)?ex,显然
g?(x)?0.
解 由lim[f(x)?f?(x)]?0,知???0,?X?0当x?X时f(x)?f?(x)??,
x??令F(x)?f(x)ex,g(x)?ex对x?X,在[X,x]上利用柯西中值定理有
F(x)?F(X)F?(?),??(X,x) ?g(x)?g(X)g?(?)即
f(x)ex?f(X)eX[f(?)?f?(?)]e??,
ex?eXe?亦有
[f(x)?f(X)]eX?x?f(?)?f?(?),
1?eX?x或
|f(x)|?|f(X)|eX?x?|f(?)?f?(?)|(1?eX?x)
由于limeX?x?0,所以?x1?X,当x?x1时有
x???eX?x??和eX?x?1,
于是?x?x1,使
|f(x)|?|f(X)|??2?
即
limf(x)?0.
x??小结
方法1 选择适当的函数和区间利用拉格朗日中值定理并结合导函数的特点及极限的
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