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迫敛性求的最终结果.
方法2 选择适当的函数和区间利用柯西中值定理结合具体题意求的最终结果. 4.4 证明零点存在性
在证明方程根的存在性时,出现满足中值定理的相关条件时,可以考虑运用微分中值定理加以解决.从某种意义来说,微分中值定理为证明方程根的存在性提供了一种方法.
aaa例4.4.1 设ai?R且满足a0?1?2?...?n?0,证明方程
23n?1a0?a1x1?a2x2?...?anxn?0在(0,1)内至少有一个实根.
x2x3xn?1证明 引进辅助函数F(x)?a0x?a1?a2?...?an,
23n?1显然F(0)?F(1)?0,F(x)又是多项式函数在[0,1]上连续,在(0,1)可导,F(x)满足罗尔中值定理的条件,故存在??(0,1)使
F?(?)?0
而
F?(x)?a0?a1x1?a2x2?...?anxn
故方程
a0?a1x1?a2x2?...?anxn?0
在(0,1)内至少有一个实根?.
注 本题构造F(x)的依据是使F(x)得导数恰好是所证方程的左边. 例4.4.2 证明：方程x5?x?1?0有唯一正根. 证明 （存在性）令f(x)?x5?x?1,
显然f(x)是连续函数,取区间[0,N]则f(x)在[0,N]上连续,在(0,N)内可导,且
f?(x)?5x4?1?0,
由连续函数的零点定理,知存在x0?(0,N)使f(x0)?0即方程有正根(N?0). （唯一性）下面用反证法证明正根的唯一性,
设处x0外还有一个x1?0不妨设x0?x1使f(x1)?0则f(x)在[x0,x1]上满足罗尔中值定理条件,于是存在??(x0,x1)使
f?(?)?0
这与上面的f?(x)?5x4?1?0矛盾.
所以,方程有唯一的正根.
例4.4.3 设f(x),g(x),h(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明???(a,b)使
f(a)f(b)f?(?)g(a)h(a)g(b)h(b)?0并由此说明拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是它的特例. g?(?)h?(?)f(a)g(a)h(a)h(b)由于F(a)?F(b)?0,由罗尔中值定理知g(x)h(x)g(b)证明 作辅助函数F(x)?f(b)f(x)???(a,b)使
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f(a)g(a)h(a)?)?f(b)g(b)h, (b ) 0?F?( ①
??f?(?)g?(?)h()若令h(x)?1,则由①式有
f(a)0?F?(?)?f(b)f?(?)g(a)1g(b)1, ② g?(?)0由②式可得
f(b)?f(a)f?(?) ?g(b)?g(a)g?(?)此即柯西中值定理.
若令h(x)?1,g(x)?x由①式有
f(a)a1?)?f(b)b, 1 ③ 0?F?(f?(?)10由③可得
f(b)?f(a)?f?(?)
b?a此即为拉格朗日中值定理.
此类型题的一般解题方法小结 证明根的存在性有以下两种方法 （1）构造恰当的函数F(x),使F?(x)?f(x)；对F(x)使用洛尔定理即可证得结论存在?,使得f(?)?0；
（2）对连续函数f(x)使用介值定理；
证明根的唯一性一般用反证法,结合题意得出矛盾,进而结论得证. 4.5 函数的单调性
f(x)例4.5.1[6] 证明：若函数f(x)在[0,a)可导,f?(x)单调增加,且f(0)?0,则函数在
x(0,a)也单调增加.
证明 对任意x1,x2?(0,a),且x1?x2,则f(x)在[0,x1]与[x1,x2]均满足拉格朗日中值定理条件,于是分别存在c1?(0,x1),c2?(x1,x2),使
f(x1)?f(0),
x1?0f(x2)?f(x1)f?(c2)?,
x2?x1由于f?(x)单调增加,且f(0)?0,所以
f(x1)f(x2)?f(x1)?, x1x2?x1从而
f(x1)f(x2)?, x1x2f?(c1)?第 6 页
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f(x)在(0,a)也单调增加. x证明函数为单调函数一般有两种方法： （1）利用函数单调的定义来证明；
（2）利用导函数f?(x)来证明.若在该区间上恒有f?(x)?0则f(x)为单增函数；若在该区间上恒有f?(x)?0则f(x)为单减函数. 4.6 导数的中值估计
例4.6.1[7] 设f(x)在[a,b]上二次可微, f?(a)?f?(b)?0,则至少存在一点??(a,b),使得
2f??(?)?f(b)?f(a). 2(b?a)a?ba?b证明 因为函数f(x)在[a,]与[,b]上可导,所以由中值定理有
22a?bf()?f(a)a?b2 f?(c1)?,c1?(a,), （1）
a?b2?a2a?bf(b)?f()2,c?(a?b,b), （2） f?(c2)?2a?b2b?2(1)?(2),并整理得
2 f?(c2)?f?(c1)?[f(b)?f(a)], （3）
b?a又f?(a)?f?(b)?0,且f(x)在[a,b]上二次可微,则分别在(a,c1)与(c2,b)内至少存在?1与?2,
即函数
使
f?(c1)?f??(?1),?1?(a,c), 1 （4）c1?a
f?(c2)?f??(?2),?2?(c2,b), （5） c2?b(4)?(5),并整理得
?c?)??f?(1)?(c?a)???f2(?)( b,6） f?(c )（2)?f(112c将（6）式代入（3）式得 2f(b)?f(a)?f??(?1)(c1?a)?f??(?2)(c2?b) b?a令f??(?)?max{f??(?1),f??(?2)},则
2f(b)?f(a)?f??(?1)c1?a?f??(?2)c2?b?f??(?)b?a b?a即
f??(?)?2f(b)?f(a),??(a,b). 2(b?a)解题方法小结
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选择适当的区间分别利用拉格朗日中值定理并进行适当处理,再结合具体题目采用适当的手段最终证得所求结论.
4.7 证明函数在区间上的一致连续
例4.7.1 设函数f(x)在(0,1]内连续且可导,有lim?xf?(x)?0,证明：f(x)在(0,1]内一
x?0致连续.
证明 由函数极限的局部有界性知,存在M?0和c?(0,1),使
xf?(x)?M,x?(0,c]
于是?x1,x2?(0,c],且x1?x2不妨设x1?x2由柯西中值定理,???(x1,x2),有
f(x2)?f(x1)f?(?)??2?f?(?)
x2?x11/(2?)即
x2?x1??x2?2x1x2?x2?x1
故???0,???min{(2?2Mf(x2)?f(x1)?2M)2,c},当x1,x2?(0,c],且x2?x1??时,由上面两式得到
x2?x1?2Mx2?x1??
于是知f(x)在(0,c]上一致连续,
由于f(x)在(0,1]上连续,所以f(x)在[c,1]上一致连续, 由定理知f(x)在(0,1]内一致连续.
证明函数在区间上的一致连续解题小结：
利用一致连续的定义并结合有关一致连续的定理即可证得结论成立. 4.8 用来判定级数的敛散性
例4.8.1 设函数f(x)在点x?0的某邻域内有二阶连续导数,且limx?0?f(x)?0,证x1f()绝对收敛. ?nn?1f(x)证明 由lim?0且f(x)在x?0可导,知f(0)?0,f?(0)?0故f(x)在点x?0处的
x?0x一阶泰勒公式为：
11f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(?)x2?f??(?)x2,??(0,x)
2!2!因f??(x)?M,故
f(x)?1M2f??(?)x2?x. 2!2取x?1有 n1M12f()?() n2n??M121由于?()收敛,由比较判别知?f()绝对收敛.
nnn?12n?1定理[8] 已知f(x)为定义在[1,??)上的减函数,F(x)为定义在[1,??)上的连续函数,且
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F?(x)?f(x)?0,x?(1,??).
mn(存在时,正项级数⑴当极限liFn??n??n???f(n)n?1?收敛,设其和为a,则
limF(n)?F(1)?a?limF(n)?F(1)?f(1)；
⑵当极限limF(n)??时,正项级数?f(n)发散.
n???n?1证明 下面只证定理的前半部分.
因为函数F(x)在区间[k,k?1]上满足中值定理的条件（其中k?1）,所以在(k,k?1)内至少存在?使得F(k?1)?F(k)?f(?)成立,
又f(x)为减函数,故有
f(k?1)?F(k?1)?F(k)?f(k),k?1,2,???,n.
将上述n个不等式相加得
f(2)?f(3)?...?f(n?1)?F(n?1)?F(1)?f(1)?f(2)?...?f(n).
令Sn?f(1)?f(2)?...?f(n), 则
Sn?f(1)?f(n?1)?F(n?1)?F(1)?Sn,（1）
因极限limF(n)存在,f(x)为减函数,从而数列{F(n)}有界,
n??f(n?1)?f(1),
所以数列{Sn}单调递增且有上界,故极限limSn存在,即级数?f(n)收敛.从而limf(n)?0,
n???n?1n??由（1）可得
limF(n)?F(1)??f(n)?limF(n)?F(1)?f(1).
n??n?1n???n2例4.8.2 判定级数?n是否收敛？若收敛,请估计其和.
n?1e解 令f(x)?x2e?x,F(x)??(x2?2x?2)e?x,
则F?(x)?f(x),f?(x)?x(2?x)e?x,故当x?2时,f?(x)?0,此时f(x)为减函数,又
?n2limF(n)?0,由定理知级数?n收敛, n??n?1e且
?n2limF(n)?F(2)??n?limF(n)?F(2)?f(2), n??n??n?2e?所以
n20?F(2)?f(1)??n?0?F(2)?f(2)?f(1)
n?1e?即
n210e?e??n?14e?2?e?1.
n?1e判定级数的敛散性的一般解题方法
方法一 一般先运用泰勒定理并结合题意,再运用比较判别法即可得到所要证明的结论；
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