3?x?x(x?0)【答案解析】(?1,0) 解析 ：解：函数f(x)?x3?x变形为f(x)??3，
?x?x(x?0)?3x2?1(x?0)又因为在A，B两点处的切线互相平行，故f?(x1)?f?(x2)，即?f?(x)??2?3x?1(x?0)3x12?1?3x22?1，也就是3x22?3x12?2，同时x1?0,x2?0
x23x223x12?222??????1?1?所以，令个g(x)= ,g?(x)?0得到极值点2222x13x13x13x13x为x=2x33,即x1?，??1?2???1,0?，即2???1,0?. 3x133xx2的范围即可. x1【思路点拨】先把原函数求导并判断x1?0,x2?0，然后利用导数求出
14．设等差数列?an?的公差为d，前n项和为Sn，且a1≥1，a24≥24，S12≤168， 则a9?d2的取值范围是 ▲ ． 【知识点】二次函数值域问题。
a1?1??249] 解析 ：解： 由题意得?a1?23d?24 作出?d,a1?的可行域 【答案解析】[8,16?2a?11d?28?1
6
2又令a9?d2?t，则a1?d?8d?t??d?4??t?16
2T的几何意义即为二次函数a1?d2?8d?t的纵截距，所以当二次函数a1?d2?8d?t过A（1,1）时，t取得最小值8；当二次函数a1?d2?8d?t与直线2a1?11d?28，t取得最大值
249. 16【思路点拨】作出?d,a1?的可行域后，转化为二次函数求值域的问题即可.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．
说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m?(tanA?tanC,3)，
n?(tanAtanC?1,1)，且m//n．
（1）求角B；
（2）若b?2，求ΔABC的面积的最大值． 【知识点】向量共线定理；余弦定理；基本不等式.
（2）ΔABC的面积的最大值为3．
3 解析 ：解：（1）因为m//n，所以tanA?tanC?3(tanAtanC?1)，
tanA?tanC??3，即tan(A?C)??3， ????????????4分 所以
1?tanAtanC所以tanB??tan(A?C)?3， 【答案解析】（1）B?又B?(0,?)，所以B???3． ????????????7分
a2?c2?b21（2）在ΔABC中，由余弦定理有，cosB??，
2ac222所以a?c?ac?4，
由基本不等式，a2?c2≥2ac，可得ac≤4，当且仅当a?c?2时，取等，?12分
13所以ΔABC的面积S?acsinB≤?4?3，
24故ΔABC的面积的最大值为3． ????????????14分
【思路点拨】（1）先根据m//n，得到tan(A?C)??3，解得B??3即 可.
a2?c2?b21（2）由余弦定理得，cosB??，所以a2?c2?ac?4，再通过基本不等式可
2ac2得ac≤4，最后得到ΔABC的面积的最小值.
16．（本小题满分14分）
如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD?DC?CB?a，?ABC?60o．平面ACEF?平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AE?a，点M在线段EF上．
7
（1）求证：BC?平面ACEF；
（2）当FM为何值时，AM//平面BDE？证明你的结论．
D
【知识点】线面垂直的判定定理；线面平行的判定定理. 【答案解析】（1）略（2） 当FM?M F C A （第16题图）
E B
3a，AM//平面BDE． 3解析 ：解：（1）由题意知，ABCD为等腰梯形，且AB?2a，AC?3a，
所以AC?BC，
又平面ACEF?平面ABCD，平面ACEF平面ABCD?AC，
所以BC?平面ACEF． ???????6分
3（2）当FM?a，AM//平面BDE． ???????8分 M 3F 在梯形ABCD中，设AC?BD?N，连结EN，则CN:NA?1:2，
因为FM?E 3a，EF?AC?3a，
C 3D
所以EM?AN，又EM//AN，
N 所以四边形EMAN为平行四边形，????11分
A 所以AM//NE，
（第16题图）
又NE?平面BDE，AM?平面BDE，
所以AM//平面BDE． ???????14分 【思路点拨】（1）先在等腰梯形ABCD中得到 AC?BC，再结合平面ACEF?平面ABCD，得到结论 .
3（2）当FM?a，AM//平面BDE．再证明四边形EMAN为平行四边形，最后得
3出结论即可.
17．（本小题满分14分）
第十八届省运会将于2014年9月在徐州市举办．为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成，两圆心O1、O2之间的距离为10米．
（1）如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A，B，C，D均在圆弧上，O1O2?AB于点M．设?AO2Mq，求矩形的宽AB为多少时，可使喷泉ABCD的面积最大；
（2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变
pp为两个全等的等腰三角形，其中NA?NB，NO2?4米．若?AO2Mq [,]，
64求喷泉的面积的取值范围．
B
D θ O2 A M 8 D 观 A 赏长廊O1 C O1 C θ M O 2N B B （第17题图甲）
（第17题图乙）
【知识点】三角函数式的化简；导数求最值的应用；三角函数的单调性.
530?233时，矩形ABCD的面积最大．
2（2） 喷泉的面积的取值范围是[503?40,100?402]（单位：平方米）． 解析 ：解：（1）在直角ΔAO2M中，AM?10sin?，O2M?10cos?，则AD?20cos??10， 所以矩形ABCD的面积S?20sin?(20cos??10)?200(2sin?cos??sin?)，???4分
【答案解析】（1）AB?p， 3则f'(?)?2cos2??cos??4cos2??cos??2，
令f(?)?2sin?cos??sin?，0 883) ? ?0,?0? ?0 (?0,?3f'(?) 0 ? ? f(?) ↗ 极大值 ↘ 530?233时，矩形ABCD的面积最大． ??????10分 2（2）由（1）易得，喷泉的面积S?20sin?(10cos??4)?100sin2??80sin?， 所以当???0，即AB?pppp由q?[,]知，2q?[,]，所以函数g(?)?100sin2??80sin?是单调增函数， 6432所以S?[503?40,100?402]． ????????????13分 530?233（米）时，可使喷泉ABCD的面积最大； 2（2）喷泉的面积的取值范围是[503?40,100?402]（单位：平方米）． ??14分 答：（1）矩形的宽AB? 【思路点拨】（1）先找出矩形ABCD的面积的表达式 S?20sin?(20cos??10)?200(2sin?cos??sin?)，然后利用导数求其最大值 （2）由（1）易得，喷泉的面积S?20sin?(10cos??4)?100sin2??80sin?， 然后利用函数g(?)?100sin2??80sin?是单调增函数，求出范围. 18．（本小题满分16分） x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作直线l与椭圆Cab交于点M、N． 1，右准线的方程为x?4，M为椭圆C上顶点，直线l交211?右准线于点P，求的值； PMPN（2）当a2?b2?4时，设M为椭圆C上第一象限内的点，直线l交y轴于点Q， F1M?F1Q，证明：点M在定直线上． （1）若椭圆C的离心率为 9 【知识点】直线与椭圆的位置关系；两直线垂直的充要条件；直线过定点问题. 【答案解析】（1）（2）略 13?c1?,??a?2,?a2 解析 ：解：（1）设F2(c,0)，则?2，解得?， c?1a???4??cx2y2所以椭圆C的方程为??1， ???????????2分 43则直线l的方程为y??3(x?1)，令x?4，可得P(4,?33)， ?y??3(x?1),8335x2?22联立?x，得，所以，M(0,3)N(,?)， ??4分 ?2x?0y554?1??3?41111151??????． 所以 22PMPN8243(0?4)?(3?33)83322(?4)?(??33)55??????????6分 y0（2）设M(x0,y0)(x0?0,y0?0)，F2(c,0)，则直线l的方程为y?(x?c)， x0?c?cy0令x?0，可得Q(0,)， ??????????8分 x0?c?cy0y0x?c由F1M?F1Q可知，kF1M?kF1Q??0??1，整理得y02?x02?c2， x0?cc又c2?a2?b2?2a2?4， ?a2?y02?x02?(2a2?4),x0?,??2?22联立?x，解得?， ??????????14分 y200?1?2??y?2?a4?a2?a0?2?所以点M在定直线x?y?2上． ??????????16分 【思路点拨】（1）先由已知条件解出a,c的值，进而求出椭圆方程，再与直线方程联立得到M、N点的坐标代入即可.（2）通过直线l的方程求得Q的坐标，再由量直线垂直的充要条件得到y02?x02?c2，最后求出点M在定直线x?y?2上． 19．（本小题满分16分） 在数列?an?，?bn?中，已知a1?2，b1?4，且an，?bn，an?1成等差数列，bn，?an， bn?1也成等差数列． （1）求证：?an?bn?是等比数列； （2）设m是不超过100的正整数，求使 an?ma?4?m成立的所有数对(m,n)． an?1?mam?1?4【知识点】等差等比数列的基本性质；不定方程求整数解； 【答案解析】（1）略（2）所有数对(m,n)为(8,9)，(80,83)． 解析 ：解：（1）由an，?bn，an?1成等差数列可得，?2bn?an?an?1，① 10