文科数学参考答案
一、选择题
1-5: DDABD 6-10: BACAC 二、填空题
11. 29? 12. 40 13. 30，20 14. ?2,??? 15. ①③④ 三、解答题
16.解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为5?3020?3，女同学的人数为5??32. 5050（Ⅱ）记3名男同学为A1，A2，A3，2名女同学为B1，B2.从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个.
用C表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则C中的结果有6个，它们是：
A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2.
所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率P(C)?17.解：（Ⅰ）f(x)?asin2?x?3cos2?x， 由题意f(x)的周期为?，所以
63?. 1052???，得??1， 2?∵f(x)最大值为2，故a2?3?2，又a?0，∴a?1， ∴f(x)?2sin(2x?令2x??3)，
?3??2?k?，解得f(x)的对称轴为x??12?k?(k?Z). 2（Ⅱ）由f(?)?4??4??2??知2sin?2????，即sin?2????， 33?33?3??∴sin?4?????????????????cos22???sin22?????? ????6?3?3?2????2??1??2???1?2sin?2?????1?2?????.
3?9??3?218.解：（Ⅰ）分别取PD的中点M，EA的中点N.连结MH，NG，MN.
因为G，H分别为BE，PC的中点，所以MH//11CD，NG//AB， 22因为AB与CD平行且相等，所以MH平行且等于NG， 故四边形GHMN是平行四边形.所以GH//MN. 又因为GH?平面PDAE，MN?平面PDAE， 所以GH//平面PDAE.
（若通过面面平行来证明也可，酌情给分）
（Ⅱ）证明：因为PD?平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD?BC. 因为BC?CD，PDCD?D，所以BC?平面PCD.
因为F，H分别为PB、PC的中点，所以FH//BC. 所以FH?平面PCD.
因为FH?平面FGH，所以平面FGH?平面PCD. 19.解：（Ⅰ）设bn?a2n?因为
33131，则b1?a2??(a1?1)???， 223263131131a2n?1?(2n?1)?(a2n?6n)?(2n?1)?a2n?bn?12?32?32?1， 2?3?3333bn3a2n?a2n?a2n?a2n?2222311所以数列{a2n?}是以?为首项，为公比的等比数列.
263a2(n?1)?31?1?（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn?a2n??????26?3?n?11?1??????，
2?3?n1?1?3即a2n??????，
2?3?2由a2n?n1a2n?1?(2n?1)， 31?1?得a2n?1?3a2n?3(2n?1)?????2?3?n?1?6n?15， 2n?1nn1??1?1?1????所以a2n?1?a2n???????????6n?9??2????6n?9，
2??3???3???3??S2n??a1?a2???a3?a4??L??a2n?1?a2n?
n?1?1?2?1????2?????L?????6(1?2?L?n)?9n
?3???3?3???n1??1???1????3?n(n?1)??3????6??9n ??2?121?32?1??1?????1?3n2?6n????3?n?1??2. ?3??3?nn20.解：（Ⅰ）因为直线l的倾斜角为所以，直线l的方程为y?x?c，
?，F2(c,0)， 4由已知得c2，所以c?1. ?22又e?3，所以a?3，b?2， 3x2y2??1. 椭圆C的方程32（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，则x1?x2，y1??y2，
x12y1266??1，而S?x1y1?由P?x1,y1?在椭圆上，则，则x1?，y1?1知3222ON?PQ?26.
x2y2??1可得2x2?3(kx?m)2?6，当直线l的斜率存在时，设直线l为y?kx?m，代入3222222即(2?3k)x?6kmx?3m?6?0，由题意??0，即3k?2?m.
6km3m2?6x1?x2??，x1x2?.
2?3k22?3k2PQ?1?kx1?x2?1?k22263k2?2?m2(x1?x2)?4x1x2?1?k
2?3k222d?m1?k2，S?POQ11263k2?2?m26??d?PQ?m， ?2222?3k2化为4m2(3k2?2?m2)?(3k2?2)2，(3k2?2)2?2?2m2(3k2?2)?(2m2)2?0，
22即(3k2?2?2m2)2?0.则3k?2?2m，满足??0，
3k3k22?2m?， 由前知x1?x2??，y1?y2?k(x1?x2)?2m??mmm9k241ON?(x1?x2)?(y1?y2)?2?2?2(3?2).
mmm222124(3k2?2?m2)2(2m2?1)??2(2?)， PQ?(1?k)m2m2(2?3k2)222ONPQ?4(3?221111)(2?)?253??2?，当且仅当，即m??2时等号成2222mmmm立，故ONPQ?5.
综上可知ONPQ的最大值为5.
x21.解：（Ⅰ）依题意得，g?x??e?cosx?g?0??ecos0?1，
0g'?x??excosx?exsinx，g'(0)?1.
所以曲线y?g?x?在点0,g?0?处的切线方程为y?x?1. （Ⅱ）等价于对任意x????????,0?，m?[g(x)?x?f(x)]min. ?2?x设h(x)?g(x)?x?f(x)?ecosx?xsinx，x??????,0?. 2??xxxx则h'(x)?ecosx?esinx?sinx?xcosx?e?xcosx?e?1sinx，
????因为x??????,0?，所以?ex?x?cosx?0，?ex?1?sinx?0， ?2?所以h'(x)?0，故h(x)在?????,0?单调递增， ?2?因此当x???2时，函数h(x)取得最小值h??????； ???22????. ?2?所以m???2，则实数m的取值范围是???,???（Ⅲ）设H(x)?g(x)?x?f(x)?ecosx?xsinx，x???x????,?. ?22?①当x?????????,0?时，由（Ⅱ）知，函数H(x)在??,0?单调递增， ?2??2????,0?至多只有一个零点， ?2?故函数H(x)在??又H(0)?1?0，H?????????H(x)，而且函数图象在???0?,0?上是连续不断的， ??22???2?因此，函数H(x)在?????,0?上有且只有一个零点. ?2?②当x??0,???时，g?x??x?f?x?恒成立.证明如下： ?4??x设?(x)?e?x，x?[0,????
]，则?'(x)?ex?1?0，所以?(x)在?0,?上单调递增， 4?4?
所以x??0,???xe?x?0， ?(x)??(0)?1时，，所以?4??又x??0,???xcosx?sinx?0e?cosx?xsinx，即g?x??x?f?x?，即时，，所以??4?H(x)?0.
故函数H(x)在?0,????4??上没有零点.
③当x??????,?时，H'(x)?ex(cosx?sinx)?(sinx?xcosx)?0，所以函数H(x)在?42?????????H(x)上单调递减，故函数在,??,?至多只有一个零点， ??42??42???2??????又H()?而且函数H(x)在?,?上是连续不断的， (e4?)?0，H()???0，
22424?42??因此，函数H(x)在?????,?上有且只有一个零点. ?42?综上所述，x???????,?时，方程g?x??x?f?x?有两个解. ?22?