《矿山压力与岩层控制》教案（第二版，王家臣，2006-12-2） 36
?? =
12??1?1??2?2??3?3?
代入广义虎克定律：
?1?1E1E1E???1????2??3??????2????1??3??????3????1??2???1
(2-19)
?2??3?整理得：?? ＝
??12??22??32?2???1?2??2?3??3?1???2E?一般情况下，外力作用下，岩体会同时发生体积和形状变化， 则 岩体内的弹性能 ＝ 体积改变能＋形状改变能。
应变能密度（??）＝体积改变能密度（?V）＋形状改变能密度（?d）
?? ＝ ?V＋?d
设单元体边长均为a，则dV＝a3 则变形后单元体的体积为
体积均匀变化产生的
?2 dV1?(1??1)a?(1??2)a?(1??3)a
?3 a a a ?1 展开，略去高阶小量
dV1?(1??1??2??3)a3
则单元体的体积变化率?为
? ＝
dV1?dVdV?(?1??2??3)
?m ?——设为体应变
由虎克定律：??1?2?E(?1??2??3)
?m a
a a ?m 体应变?只与三个主应变之和有关，记主应力平均值
?m?13(?1??2??3)，若用?m代替原?1、?2、?3；则?m只引起体积改变，不
产生形状改变，且体积改变量仍等于原体积改变值，由（2－19） 体积改变能密度：VV?3(1?2?)2E?m?21?2?6E(?1??2??3)2
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形状改变能密度：
Vd?V??VV ＝
1??6E[(?1??2)?(?2??3)?(?3??1)]
2223.4.3岩体中的弹性变形能
对于自重应力场条件，采深为H时，则原岩应力
?1??H
?2??3??1???H
则单位体积的体积改变能
UV?1?2?6E??1??2??3???????22?1?2??2???H1???6E?1???2 1?2??22?1???2??????H???6E?1?????????1?2???1???22?H26E?1???2同理：形状改变能密度
Ud??1?2???1???22?H 23E?1???2从上式可见，UV、Ud是采深H平方的增函数。H大，岩体中储存的的弹性能迅速增加，发生突然破坏的可能性增加。
如果岩体中有塑性变形量，且一般认为岩体的形状改变被塑性变形所吸收，则岩体的变形能是体积改变能。且考虑构造应力的影响
?1??H，?2??3?2??H
?——平均水平应力与垂直应力比值
则UV??1?2???1?2??6E2?H
22在开挖边界，应力集中引起UV迅速增加。