51、
（1）∵zu=(1-cos?＋isin?)(a2＋ai)=[a2(1-cos?)-asin?]＋[a2sin?＋a(1-cos?)]i是
2??asin??a(1?cos?)?0??(1)纯虚数，∴?2??a(1?cos?)?asin??0??(2).
由（1）知a≠0，又0＜?＜2π，∴1－cos?≠0. 因此由（2），可得a?sin?1?cos??ctg?2.
aa2由（1）、（2）知，?≠π，∴tg(argu)=
?1a2?tg?2.
?2?)＋ictg在22∵0≤argu＜2π，∴当0＜?＜π，即0＜
?＜
?2时，复数u=(ctg
?2复平面上对应的点在第四象限，于是得argu=π＋∴当0＜?＜π时，argu=
2
.
?2?2；当π＜?＜2π时，argu=π＋
sin?1?cos?.
sin?1?cos?(2)ω=z＋u=1－cos?＋a＋(a＋sin?)i，若ω为实数，则a＋sin?=0，即a=－sin? .已知zu是纯虚数，由（1）知，a?，且sin?≠0，因此有－sin?=
，
即cos?=2，这是不可能的，故ω不可能是实数.
52、
2
53、
解 由于?,?,2在复平面上的对应点组成正三角形,不妨设
?=2(cos120°＋isin120°)=－1＋3i,?=2(cos240°＋isin240°)=－1－3i,且
???.由根与系数关系,有?＋?=－2p,∴p=1.其他情况无解.