表9-1学生成绩数据 学生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学X1 99 88 79 89 75 60 79 75 60 100 物理X2 98 89 80 78 78 65 87 76 56 100 语文X3 78 89 95 81 95 85 50 88 89 85 政治X4 80 90 97 82 96 88 51 89 90 84 首先，根据资料计算每两个指标（每两门课成绩）的相关系数矩阵（见下表9-2）：
表9-2 相关系数矩阵 指标 X1 X2 X3 X4 X1 1.000 0.931 -0.154 -0.191 X2 0.931 1.000 -0.280 -0.311 X3 -0.154 -0.280 1.000 0.997 X4 -0.191 -0.311 0.997 1.000 其次，度量指标间距离：dij?1?rij，得距离矩阵（见下表9-3）。
表9-3距离矩阵 指标 X1 X2 X3 X4 X1 0 X2 0.069 0 X3 0.846 0.72 0 X4 0.809 0.689 0.003 0 距离越小，表明两指标关系越密切，越可以归为一类。上表9-3中，d34?0.003最小，可知指标X3 和指标X4 关系最为密切，最相似，可聚为一类，在选择评价指标时选择其中之一即可。那么，选择X4还是X3？ 这里采用最长距离法进行选择，X3 与其他指标的最大距离为0.,846，X4 与其他指标的最大距离为0.809，根据选取指标原则中的独立性原则，选择指标X3。
同理进行下一轮的选择，直到剩下的指标最能满足要求为止，最终可以形成聚类图（见下图9-1）。
图9-1 聚类图
注：此图利用SPSS18.0，采用最远邻元素法生成。
从上图9-1可以看出，X1和X2，X3和X4是一类，分别选取X1和X3，即分别选取数学和语文作为文理科的代表，用这两门课程来综合评价学生的成绩即可，与前面的分析和事实相符。 (4)极大不相关法：假设有n+1个备选指标Y，X1，X2，?，Xn中有一指标与其他指标都独立或相关性很小，那么该指标就不能或不宜由其他指标来表示、代替，根据选取指标原则中的独立性原则，留下该指标。
一个指标与一组指标 (两个或两个以上)之间的相关性可用复相关系数来表示，复相关系数越小，表明一个指标与一组指标之间的线性相关程度越不密切。复相关系数不能直接计算，只能采用某种方法间接测算，例如为了测定一个指标Y与其他多个指标X1，X2，?，Xn之间的相关系数，可以考虑构造一个关于X1，X2，?，Xn的线性组合，通过计算该线性组合与Y之间的简单相关系数作为指标Y与X1，X2，?，Xn之间的复相关系数。下面以其中一种算法来说明极大不相关法选取评价指标的步骤。
?????Xl??X?...??X 首先，用Y对X1，X2，?，Xn作回归，得：Y0122nn?的简单相关系数，此简单相关系数即为Y对X1，X2，?，Xn之间的复相其次，计算Y和Y关系数。复相关系数的计算公式为：R???Y)?(Y?Y)(Y??Y)?(Y?Y)?(Y22
复相关系数与简单相关系数的区别是简单相关系数的取值范围是[-1,1]，而复相关系数的取值范围是[0,1]。
再次，确定临界值D，当Ｒ＞Ｄ时，就删除Ｙ。
最后，重复以上步骤，逐步删除相关性大的指标，直至留下的指标个数与预先确定的指标数量相符为止。
(5)主成分分析法：
主成分分析就是设法将原来众多的具有一定相关性的指标(比如n个指标)，重新组合成一组新的相互无关的综合指标来代替原来的指标，通常的处理方法就是将原来n个指标作若干个线性组合。若没有限制条件，这样的线性组合会有很多，那么如何进行组合呢？
主成分分析的基本思想是：如果将选取的第一个线性组合即第一个综合指标记为Y1，自然希望Y1尽可能多的反映原来指标的信息。最经典的方法就是用Y1的方差来表达，即Var(Y1)越大，表示Y1包含的信息越多。因此，在所有的线性组合中所选取的Y1应该是方差最大的，称Y1为第一主成分。
如果第一主成分不足以代表原来n个指标的信息,再考虑选取Y2，选第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，Y1已有的信息就不在需要出现在Y2中，用数学语言表达就是要求 Cov(Y1，Y2)=0，称Y2为第二主成分。依次类推可以造出第三、第四、…、第n个主成分。 不难想象这些主成分之间不仅不相关，而且它们的方差依次递减，因此在实际工作中，就挑选前几个最大主成分。虽然这样做会损失一部分信息，但是由于抓住了主要信息，并从原始数据中进一步提取了某些新的信息，这种既减少了变量的数目又抓住了主要信息的做法有利于问题的分析和处理。
选取评价指标的方法有很多，除了上述几种方法外，还有典型指标法、条件广义方差极小法等。
9.3综合评价指标权重的确定
在利用挑选出来的评价指标建立综合评估模型之前，还应当考虑各指标对评价结果的影响大小，即各个评价指标的权重问题。
9.3.1 权重的分类
在综合评价中，评价指标的权重主要有以下几种分类。
按表现形式来划分，权重可以分为绝对数权重和相对数（比重权数）权重，其中相对数权重更加直观地显示权重在评价中的作用。
按形成方式来划分，权重可以分为客观权重和主观权重。其中客观权重是由于变换统计资料的表现形式与统计指标合成方式而得到的；主观权重是指根据研究目的和评价指标的内涵，人为地构造出反映各个评价指标重要程度的权数。
按权重与指标之间的相关程度来划分，可以分为独立权重和相关权重。所谓独立权重就是指评价指标的权重大小与对应指标值的大小无关，在综合评价中较多的采用这种权重，基于这种权重建立的综合评价指标模型成为“定权综合”模型。相关权重是指指标权重与对应指标值呈函数关系，如当某一评价指标值达到一定水平时，该指标的重要性相应减弱或增强，此时其权重相应减小或增加，基于这种权重的综合评价模型被称为“变权综合”，较多地运用于对环境质量的评价。
9.3.2 权重的确定
确定权重的方法有很多，归纳起来有主观和客观定权两类，前者主要包括专家评分法、层次分析法等，后者主要包括变异系数法等。
1．专家评分法
专家评分法是一种依靠有关专家，凭借他们在某一学科领域内的理论知识和丰富经验，以打分的形式对各个评价指标的相对重要性进行评估，让后通过统计手段最终确定各评价指标权重大小的方法。
专家评估法可以采用专家个人判断和专家会议等方式进行。
个人判断：即分别征求专家个人的意见，在专家各自单独给评价指标的相对重要性打分的基础上进行统计处理，以确定各指标的权重。该法的优点在于各专家打分时不受外界影响，
没有心理压力，可以最大限度地发挥个人能力；缺点在于凭个人判断，受专家知识深度和广度的影响，难免有片面性。
专家会议：即召开所有被挑选的专家开会，以集体讨论的方式进行评分。该法较为常用，有点是专家可以交换意见，相互启发，弥补个人不足；缺点也很明显，主要表现为易受心理因素影响不愿公开修正已发表的意见以及易 受“更权威”专家意见的影响等。
下面介绍对专家评分的几种统计处理方法。 （1）平均法
不同的专家对同一指标的赋权往往不一致，此时，我们很自然的会想到对各个专家的赋权进行平均，从而得到某评价指标的权重。平均法就是根据专家们对各指标所赋予的相对重要性权数分别求其算术平均数，得到的平均数作为各指标的权重。
假设有n名专家对第i个指标分别负于权重wi1,wi2,...,win，则第i个指标最终权重为：
wi?(wi1?wi2?...?win)/n
（2）最大组中值法
根据前面的学习，我们知道平均数包括数值平均数和位置平均数，除了上述平均法确定指标权重外，我们还可以从“位置平均数”角度考虑，来给评价指标赋权，最大组中值法便是其中一种。该法的思路与步骤如下：
首先，请n名专家（一般情况下n≥30）依权数分配表对评价指标体系中指标x1,x2,...,xm分别赋予合适的权数。
其次，对各个指标的n个权数wi1,wi2,...,win中，找出最大值wimax和最小值wimin;再确定各评价指标分组的组数pi，利用(wimax?wimin)/pi计算出各组组距，将权数从小到大分为pi组。
再次，计算各组权数的频数和频率，根据各组频数或频率分布情况，取最大频数或频率所在组的组中值wi为指标xi的权重。
最后， 若果各指标权重之和
?wi?1，进行归一化处理，每个指标权重wi'?wi/?wj。
【例9-2】对某品牌某型号的汽车质量进行评估，建立的评估指标体系包含4个指标：x1（经济性）、x2（安全性）、x3（舒适性）和x4（售后服务）。现请50名行业专家和汽车爱好者对这四个指标写出自己认为最合理的权重分配，根据最大组中值法确定各指标最终的权重。
假设根据50名相关人员的权重分配表，找出指标x1（经济性）权数的最大值w1max?0.50和最小值w1min?0.05，确定p1?5作为组数，则组距=（0.50-0.05）/5=0.09，得权数具体分组情况，如下表9-4所示。
表9-4 经济性指标权数统计分组表 权数分组 频 数 0.05~0.14 4 0.14~0.23 5 0.23~0.32 20 0.32~0.41 16 0.41~0.50 5 从上表中不难看出，频数最大组的组中值为（0.23+0.32）/2=0.275。
同理，假设其他指标的频数最大组组中值分别为0.5、0.185和0.125，他们的和0.275+0.5+0.185+0.125=1.085，不为1，必须调整。调整后分别得四个指标的最终权重，分别
为：0.275/1.085=0.253、0.461、0.171和0.115。
（3）成对比较法
专家组根据评价目的，将每一个评价指标分别与其他评价指标成对比较，较重要的记1分，较不重要的记0分，建立成对比较矩阵，在此基础上建立指标权数矩阵，以确定各指标权重。
【例9-3】用5个指标x1,x2,x3,x4,x5对某事物进行综合评价，试用成对比较法确定各指标的权重。
首次，让专家组对各指标按照下表9-5的形式进行逐一对比打分，如指标x1和x2配对相比，如果专家组认为指标x2更重要一点，则在下方记1，上方记0，表明指标x1得0分，x2得1分，以此类推，最终统计出各指标的总比较得分。
表9-5 成对比较矩阵 指标 x1 1 0 1 0 0 1 0 1 x2 x3 x4 1 0 1 0 1 0 0 1 x5 1 0 1 0 1 0 1 0 比较得分 2 4 3 1 0 x1 x2 x3 x4 x5 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 其次，按照上表9-5的最终总的比较得分顺序将各评价指标自上而下进行排序，再由专家组确定各评价指标的相对重要性，如x2是x3的1.2倍，x3为x1的1.5倍，x1为x4的1.5倍，x4为x5的1.2倍，进而计算出各评价指标的初始权数，令得分最低的指标x5的初始权数为1，则倒数第二低的指标x4的初始权数为1.2×1=1.2，第三低指标x1的初始权数为1.5×1.2×1=1.8，以此类推，可得各指标的初始权数，最后将各原始权数做归一化处理，得最终的评价指标权重，如表9-6第（5）栏所示。
表9-6 用成对比较法确定各评价指标权数矩阵 指标（1） 比较得分 4 3 2 1 0 — 相对重要性（3） 1.2 1.5 1.5 1.2 1.0 — 初始权数（4） 3.24 2.70 1.80 1.20 1.00 9.94 归一化权数（5） 0.32 0.28 0.18 0.12 0.10 1.00 x2 x3 x1 x4 x5 合计