巧用“串题”提高初中几何复习课效率(2)

　　问题2 如图2，平面上有n个点，以这些点为端点的线段有多少条？ 
　　问题3 如图3，这里一共有多少个角（这里的角是指小于或等于∠AOA的角）？ 
　　分析 其实，问题1与问题2、问题3实际上是同一个问题，答案都是n（n-1），只是“化直为曲”而已. 学生在理解透问题1的基础上，问题2和问题3就不难理解了. 
　　问题4 如图4，n边形的对角线有多少条？ 
　　分析 问题4与前面三个问题都是同类型问题，思想方法一样，只是稍稍变换了一下背景，因为任何一点不能与它本身以及相邻两点构成对角线，所以本题的答案变成n（n-3）. 如果学生能看出本题与前面的思想方法一致的话，那么本题同样也不难解决. 
　　事实上，上述几个问题同属一个数学模型：一般地，如果有n个元素（我们所研究的对象），每两个元素之间构成一次联系，那么共有多少次联系？在我们的学习和生活中还有很多数学问题和实际问题都属于这一数学模型：如“在同一平面内，n条直线相交，最多有多少个交点”“多人之间的两两握手（或互通电话）问题”“球类比赛中单循环赛场次问题”，等等，都属于这个数学模型. 在初一几何教学的时候，我们可以适当地开始渗透给学生这种“建模”的思想，然后随着学习的深入，再逐步强化和拓展、延伸. 
　　问题5 平面上有n个点，可以确定多少条直线？（课后思考作业） 
　　分析 该问题其实是没有答案的，但如果没有非常认真进行审题的话，这道题就很容易变成有固定答案的题目，思想方法与前面一致，学生很自然而然通过类比得出n（n-1）这个结论，包括教师本身也容易做错. 如果原题目是问“平面上n个点，最多可以确定多少条直线？”那么答案就是n（n-1）；但假若没有这个限制条件的话，则就要分类，而这道题的分类是无穷无尽的. 出这道题的目的旨在让学生学会用心审题并要养成缜密的思维习惯，不要理所当然.　在学习了平行线部分的三线八角后，我们还可以再次在复习前面的内容的基础上抛出以下问题让学生解决（既达到复习巩固的目的，又可以让学生体会这种解决问题的方式的奇特效应）： 
　　问题6 我们知道，两条直线被第三条直线所截，可以形成4对同位角，请问：在平面上n条直线两两相交，无三线共点，可以形成多少对同位角？ 
　　分析 这题看似很难做，部分同学想归纳出来，发现n=3时是12，n=4时是48，没有办法数，更不好找规律. 其实，如果我们注意同位角的定义所指：“两条直线被第三条直线所截，可以形成4对同位角”，我们只要能够把这些直线这样分开，分成一个个的“两条直线被第三条直线所截”这样的三线小组，问题就迎刃而解了：每条直线与另外的n-1条直线中的任意一条都可以形成一个两条直线组合，剩下的（n-2）条中的每一条都可以来截这个两条直线的组合. 而这样的两条直线组合有n（n-1）个，总的就有这样的三线组合n（n-1）（n-2）个，同位角就有4×n（n-1）·（n-2）=2n（n-1）（n-2）个. 用这种思考方式，我们很容易得到，n条直线交于一点共有n（n-1）对对顶角. 
　　给初一学生讲解有关几何计数问题往往令许多教师为难，觉得不好讲，学生也不好接受. 著名数学家、首届国家级数学名师李尚志先生在他的《数学的神韵》中所说：“人们确实认为数学是烦琐的、复杂的. 数学当然有算法，算法也许是烦琐的，具体过程更是烦琐. 但是，指挥这些算法的想法一定是简单的，这才是最有威力的.” 
　　上面罗列的6个问题，其实思想方法都是相同或类似的，学生只要掌握了问题1的思想方法，接下来那些虽然看上去难度很大，或许很多初三的学生都完成不了的问题，也不见得有多么深不可测、高不可攀了. 因此，数学的几何复习课，一定要彻底讲清楚思想方法，然后再通过“串题”把相关的内容连接起来，组成一系列的问题串，一来可以进一步熟悉本单元需要学生掌握的数学知识和思想方法；二来也加强了本单元与其他知识的联结，让学生的知识网络更广泛、更清晰；三来，以往的复习课容易让学生觉得沉闷缺乏新意，但现在的“串题”却能让学生兴趣盎然，整节课的思维都能保持在高度活跃的状态之下. 因此，在几何复习课上，巧用“串题”的确能有效提高课堂效率. 
　　总之，本堂课打破了“以讲为主”的束缚，真正地做到“把课堂还给学生”，确立了学生在课堂教学活动中的主体地位，通过学生自己独立的思考，阐述自己的思想和观点，发现问题、提出问题并解决问题，使学生形成了良好的思维品质，提高了思维水平，发展了思维能力.通过“串题”串出的一系列问题串，培养学生良好的思考习惯和初步的辩证唯物主义观点，更好地理解、欣赏数学的美学价值，培养了学生的创新精神和独立解决问题的能力.