证明的作用和挑战对数学教学的影响

　　【摘要】上个世纪，人们重新审视数学的本质，出现了很多的关于证明的观点，如：“证明是数学实践的反映”，“证明是促进数学理解的一个极其重要的工具”，“证明可以用来交流数学理解”等.最近，证明在数学和数学教育中的作用受到了质疑，甚至有人预测，证明将消失.这种质疑来自数学内部、数学教育、社会价值和经验科学的挑战，对数学教学产生了重要影响. 
　　【关键词】证明作用；证明挑战；数学教学 
　　1证明的作用 
　　证明在数学教育中的最重要的作用是认知建构和意义交流.然而，回顾20世纪五六十年代的“新数”运动，有一主流观点：中等学校的数学课程要更好地反映数学，必须强调形式逻辑和严格证明，因为：（1）在现代数学理论中，关于数学证明，存在着一些公认的标准；（2）严格证明是现代数学实践的特征.这两个观点都是错误的[1].首先，回顾关于数学的本质的一些主要论述，如：逻辑主义、形式主义、直觉主义和准经验主义等，就会发现，关于证明在数学中的作用和数学证明的标准，存在不同的观点；其次，审视数学实践，在数学家的眼中，与“认知和意义”相比，“严格”居于第二位，只有当证明能够促进真正的数学认知，它才合理和令人信服. 
　　数学家接受一个新的数学定理，只有当定理满足以下条件：（1）他们理解这个定理（包括定理中的概念、前提和意义），而且没有迹象表明它是不正确的；（2）定理非常重要，对某个或几个数学分支有意义，使他们有充分的理由对之进行详细的研究和分析；（3）定理和公认的结果相一致；（3）定理的发现者是此领域的权威；（4）他们曾经遇到过关于此定理的令人信服的证明.在数学课堂上，教师们要传授给学生关于证明本身的更重要的作用，即强调认知建构和意义交流而不仅是形式演绎. 
　　2历史的挑战 
　　2.1来自数学的挑战 
　　计算机对数学的发展起了巨大的推动作用，重新激起了数学家们对算法和离散方法的兴趣，增强了对构造性证明的依赖，出现了一些新的证明方式，主要有三种：（1）使用计算机构造或论证一些非常长的证明，如“四色定理”的机器证明；（2）零知识证明；（3）全息证明.于是，一部分人声称“证明本身即将灭亡”. 
　　其实，以上三种证明本质上仍然是分析（演绎）证明，从这个意义上讲，它们还是传统的证明.越来越多的数学家们似乎正超越分析（演绎）证明的边界，转而使用计算机实验证实数学理论，如混沌理论和非线性动力系统.在美国明尼苏达州的几何研究中心，数学家们借助计算机，通过图形展示来研究四维超级立方体和其它图形或研究一些变化，如球体的旋转和碰撞.这些探索本身和传统的作为分析科学的数学并不矛盾，只是在从探索得出一般结论的时候，这些数学家们似乎回到经验科学的方法.这个几何研究中心创立了一个杂志《实验数学》，极力提倡计算机的使用. 
　　这些新发展给数学家们和哲学家们提出了一些新的问题：这些证明代表着未来的发展方向吗？在数学中有一席之地吗？我们能够称它们是证明吗？数学家们应该接受那些很可能正确的数学命题吗？如果不能，它们的地位又是怎样的？实验证明和演绎证明之间的关系如何定位？数学家们还在继续讨论这些问题，而这正反映了证明在数学中的作用的重要性. 
　　即使关于以上问题有了一致的观点，即使这个一致中仍有很大一部分存在分歧，数学家们都坚持证明的重要性.我们现在用新的证明方式做的一些事情，可能在将来不被认可，但证明本身仍是有活力的，借助技术的力量，数学家们创造了新的证明方法，甚至新的数学思维方式，但他们绝不会放弃证明的思想. 
　　2.2来自数学教育的挑战 
　　2.21“新数”运动 
　　在“新数”运动之前，证明教学局限于几何，似乎是为了形式而教，而不是为了更深刻的数学认知，一些经典的证明没得到重视.20世纪50年代后期，受到数学的巨大发展，特别是能将很多数学分支统一起来的集合论的新发展，新数运动的兴起，数学教育界特别重视公理结构和证明并将它们引入数学课程，这使得证明教学远远超越了几何的界限.这一改革目的就是要促进数学认知，遗憾的是，没有达到预期的目标.自从“新数”运动失败后，在全世界的学校数学课程中，任何形式的证明的地位都渐渐地下降.这主要归因于课程改革和数学教育理论，数学教育家们对于证明的认识，而不是数学本身的创新.