证明的作用和挑战对数学教学的影响(3)

　　2.4数学证明和经验科学 
　　数学中的真理和经验科学中的真理不同，经验科学中的真理主要是通过日常生活中的操作建立的，数学中的真理具有经验的维度，但最终要通过证明建立.如，对于“三角形的内角和是180度”，通过测量知道一个三角形的内角和接近180度，但要确信对所有的三角形是需要证明.这在柏拉图和欧几里德时代很自然，但在实验和测量被认为是科学的方法论的基础的时代，这不如人意.为了解释，应当告知学生“他们所画的图形与几何定理中的图形本质上是不同的，前者是经验的实体，而后者是理想的实体”. 
　　关于数学的本质，一直有两个流派，理性主义和经验主义.数学语言的使用对两者的区分很关键，一种是柏拉图-欧几里德语言，在描述真理、证明和直觉时使用，是一种理性主义的语言，体现了绝对确定性，尽管它有不尽人意的地方，但在交流中很有效且方便；另一种是口头语言，包括建模、应用、解释、数学化等，这一语言的产生基于数学理论本质上是某种现象域的模型，其确定性依赖于模型的内部原理[2].爱因斯坦认为“指向现实的数学定理是不确定的，确定的数学定理不是指向现实的”，我们也要让学生明白. 
　　对证明在数学化的经验理论中的作用有两种理解.一种是静态的，将经验理论看作原理和测量的网络，原理是关于测量的描述，其正确性不是绝对的，由证明而增强，由证明建立起来的演绎关系而联接在一起，当原理通过证明变成理论的一部分，它的检验和证实不仅通过直接的测量，还要通过证实了理论中的其它原理的测量，这将具有更高的确定性；一种是动态的，强调证明在经验理论的不同的发展阶段的作用不同，在理论产生的初期，证明主要是用来检验它的可靠性，合理性或有用性，后来证明的作用发生了改变，将源自假设的理论变成被证明了的定理，纳入公认的知识体系. 
　　教学必须反映证明的这些不同的作用，不需要在每种情形下都讨论全面，应该采纳弗来登塔尔的“局部组织”的观点，将整体分解为各个部分，各个击破，证明有时把源自假设的理论变成定理，有时用来解释一个假设，有时可以解释或推广定理，有时可以发现新的定理，有时可能涉及经验维度. 
　　3数学课堂上的证明 
　　学术性数学和课堂数学教学不同，数学家们可以只关注数学的复杂性，而在课堂教学中，对每个新的数学课题，教师必须解释清楚证明和数学应用之间的复杂关系，他们必须以不同的水平处理证明教学，但这是很难达到的，因为教师必须找到将证明和它的应用联系起来的例子，而这在学术性数学中常常是没有这样的例子的.教师必须高水平地处理认识论的复杂性，数学教育面临着科学的和哲学的挑战. 
　　从长远来看，我们期望课堂中的证明在某种程度上反映证明的所有作用，包括证实，解释，系统化，发现新的结果，交流，建构经验理论，探索定义的含义或假设的重要性，将一个众所周知的事实并入一个新的框架以一个新的视角观察它等，但这些作用和数学学习的联系程度各不一样，所以在教学中它们当然不应被赋予同等的权重[3]. 
　　课堂上最好的证明是有助于认知建构和意义交流的证明，不仅要知道它是正确的，还要知道为什么.因此，教师必须选择在形式上适宜特定的年级水平的教学方式和背景，可以是一个计算，一个直观的演示，一个有指导的并遵守一定的辩论原则的讨论，一个非形式化的证明或一个严格的证明，在不失完整性的前提下，可以暂时忽略证明的某些方面. 
　　教师必须关注和区分论证性的证明和解释性的证明，以更好地适用教学的需要.论证性证明可以证明定理的正确性，常缺乏解释意义；解释性的证明和定理中的对象或结构的特征性的性质相联系，学生从中可以很明显地看出定理的结果依赖于这些性质，如果在证明中的一个地方，以一个不同的对象做替换，这个定理就不成立了，学生还可以观察定理是怎样随着对象的改变而改变的. 
　　数学的发展的根本目的不是为了“定义——定理——证明”的形式化的演绎，而是怎样发展人们对数学的认知，怎样使得人们更清晰、更有效地理解数学.需要指出的是，强调认知的重要性并不是在某种程度上否定形式演绎，事实上经得起推敲的细致的、形式化的演绎证明对数学的发展是很重要的，是数学发展的重要方式和形式.总的来说，证明既不是数学科学的核心，又不是可以消失的，一个致力于反映证明在数学中的作用的数学课堂甚至数学课程，必须将证明展现成是对数学的认知建构和意义交流的必不可少的重要工具.