证明的作用和挑战对数学教学的影响(2)

　　2.22回到基础 
　　“回到基础”的根基是行为主义学习理论，和布鲁姆、加涅、奥苏贝尔和沙利文等人的工作密切有关，尝试给学生确定恰当的行为目标，促进“掌握学习”，这是一个有计划的学习方式，重视一些非常特殊的技巧，如算术、算法和某些问题的一步一步的解题步骤，但忽视了证明和其它形式的论证. 
　　2.23新兴学习理论 
　　在“回到基础”之后，又出现了“发现教学”、“合作学习”、“问题解决学习”和“课堂交流”等新兴学习理论，虽都没有被普遍接受和推广，但都对课程有过重要影响.虽然，它们都没有特意反对证明教学，但它们确实转移了对证明的重视. 
　　2.24建构主义 
　　20世纪90年代，最有影响的数学教育理论是“建构主义及其各种形式”，强调知识不能被传授，必须以学生为中心，由学生自我建构.建构主义引入数学课堂，削弱了教师在课堂上的重要性，这对证明教学不利.建构主义提倡教师不要给出数学证明或在论证中扮演主动角色，只要给学生提供有限的帮助，让学生自己论证，不用干预，教师扮演着“调节者”的角色或者说“中立角色”.这种“中立角色”是有问题的，我们希望培养学生探究问题和进行论证的能力，这需要教师进行引导和对学生的不同的判断加以确认和评价，促进他们协调认知、分享知识和方法.研究证明，教师在帮助学生理解“为什么需要证明”，“怎样证明”和“证明是否正确”的过程中的作用至关重要，期望学生重新发现复杂的或创造性的证明方法是不现实、不高效的，故意回避教师的帮助，似乎不明智，学生需要教师的积极的介入.　　2.25拉卡托斯的影响 
　　匈牙利数学哲学家拉卡托斯认为数学的本质是拟经验的，数学理论是可猜测的、可证伪的，他的观点使得许多数学教育者认为应该将形式化的数学从课堂上消除，鼓励学生进行探索性的分析证明.美国数学教师协会在数学教学专业标准中发起倡议，提倡学生间的课堂交流，削弱了教师的作用，削弱了形式证明的地位. 
　　很显然，上述观点和做法是错误的，教师的作用上文已阐述，而形式证明对判断和发展数学理论很重要.虽然有的数学理论是不可被证明或可证伪的，但这只是丰富多彩的数学体系的一个局部，如果数学课程只局限于这一局部，就不能更好地反映数学实践.事实上，形式证明也可以为公认的理论和定义提供反例，例如，德国著名数学家哥德尔的不完全性定理证明，如果不使用复杂的符号和形式逻辑系统，他就不能创造这些证明. 
　　2.3社会价值的影响 
　　社会价值发展的取向之一是认为真理是社会建构的，不屈服于权威.传统的、欧几里德式的证明被拉卡托斯等人认为是权威主义数学的核心，以建立一个权威的、可靠的、无可辩驳的数学体系为目标；在数学教育领域，证明特别是严格的证明，被看成是由权威机构掌握的控制机制，帮助他们将预先确定好的、可靠的知识体强加于学生. 
　　事实并非如此，证明是一种透明的辩论，推理的依据和原则都是清晰的，经得起推敲的，这才是证明的本质.我们应当传递给学生这样的信息：（1）可以自己推理，不需要屈服于权威；（2）任何一个被证明了的数学理论都是相对的，不是绝对的，其正确性依赖于其假定的数学理论和推理原则，但证明可以增强数学的可靠性.因此，在课堂上，证明的使用实际上是反权威的.有人认为，证明要求学生接受权威的推理的原则，不符合社会价值的主流，这又把争论推到了一个新的、元数学的水平.那些质疑证明的作用的人，徘徊在反抗理性的边缘，希望他们不要质疑推理的原则，否则非常令人忧心. 
　　有人认为课堂上的证明，特别是严格的证明，容易使学生觉得“数学是先验科学”，与“数学是社会建构的”相违背.其实，证明是为了寻求与当前公认的理论相容的理由，并不要求将数学看成是先验的.证明的严格是一个度的问题，在数学实践中，遵循实用主义原则，如果一个不严格的理论在问题解决中是有价值的，接受它就是一个很理性的选择，只有当数学家们意识到凭借当前的理论还不足以解决迫在眉睫的问题时，他们才会开始担心严格的缺陷. 
　　总的来说，没有证据表明证明及其严格性与当前的社会价值相冲突.