已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（3，0），右顶点为（2，0）. （3） 求椭圆C的方程； （4） 若直线l:y kx
a
0， 2
1
恒成立 综上所述，a 1 . 2
2与椭圆C恒有两个不同的交点A和B，且OA OB 2(其中
O为原点)，求k的取值范围.
解：（1）由题意可得：a 2,c
3
2
x
y2 1 b a2 c2 4 3=1 所求的椭圆方程为：4
x22
1 y 122
（2）设A(x1,y1),B(x2,y2) 由 4 得：( k)x 22kx 1 0
4 y kx 2
x1 x2
22k1
（*） ,x1x2
1122 k k44
111
(22k)2 4 ( k2) 0 解得：k 或k
422
由OA OB 2 可得：x1x2 y1y2 2
x1x2 (kx1 2)(kx2 2) 2
整理得：(1 k)x1x2 2k(x1 x2) 0
2
4 12k2( 22k)
0 把（*）代入得：(1 k) 2k 0即：2
111 4k k2 k244
2
1
解得：
3 k 33
3113
k 或 k 3223
2
-综上：k19． 在平面直角坐标系xOy中，经过点（
0, 且斜率为k的直线l与椭圆x y2 1 有
2两个不同的交点P和Q. (Ⅰ)求k的取值范围；
(Ⅱ)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k，使得向量OP OQ
与AB共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.
解：(Ⅰ) 设直线l
的方程为y kx
x (kx2 1.
2
整理，得(1 k2)x2 1 0. ① 3分
2 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 8k2 4(1 k2) 4k2 2
0，解得k
k 2
2
（ ,∴ 满足条件的k的取值范围为
k
) 6分
(Ⅱ)设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则OP OQ＝（x1+x2，y1+y2),
由①得x1 x2 . ②
又y1 y2 k(x1 x2) ③
因为A 0)，B(0, 1)，
所以AB ( 1). 10分
所以OP OQ与AB共线等价于
x1 x2y1 y2).
将②③代入上式，解得k
所以不存在常数k，使得向量OP OQ与AB共线. 13分 20.（本小题共14分）
2
已知函数f(x) a1x a2x a3x anx,(n N)，又是f(1) n。
2
3
n
（1）求数列{an}的通项公式； （2）求f()。
13
解：（1）令Sn f(1) a1 a2 a an，则Sn n 当n 1 时， a1 S1 1； 当n 2时，an Sn Sn 1 2n 1 a1 1满足上式， an 2n 1
2
1111
（1） 3 2 53 (2n 1)n，
3333
1111111
f() 1 2 3 3 55 (2n 3)n (2n 1)n 1 （2
3333333
21111111
（1） (2) f() 1 2 2 2 3 25 2 n (2n 1)n 1
33333333
11(1 )2n 112n 122n 2 n 1 2 n 1 ，
133331 3
1n 1
故：f() 1 n。
33
（2） f() 1
13