2.1Rashba与Dresselhaus自旋轨道耦合作用
我们知道III-V族半导体的能带结构已经被很好的研究过了[39]。这种材料的能带结构其价带顶和导带底都是位于Brillouin区的中心（Γ点）上。在不考虑自旋的时候，III-V族半导体的导带电子是非简并的，其波函数为S型，表象为Γ1，在考虑了自旋作用之后，导带分裂为两个表象为Γ7的子带，总角动量s=1
1111在z轴上的投影是量子化的sz=±，相应的波函数为|1 和| 。在没有考虑自旋轨道耦合时表象为Γ15的价带空穴是三重简并的，波函数为P型，分别为X,Y,Z。考虑自旋轨道耦合作用之后，Γ15带分裂为两个Γ8子带和一个
3Γ6子带。其中两个Γ8子带的总角动量为J=，根据其总角动量在z轴方向上
1的分量不同而分为重空穴带（Jz=±3）和轻空穴带（J=±）。Γ6子带通常被z11称为自旋劈裂价带，其总角动量为J=，z轴上的分量为±。
对于III-V族半导体，导带Γ7和价带Γ8、Γ6上在k=0附近的能谱可以统一采用两能级模型[40,41]来处理。应用微扰论在考虑了价带和导带之间的相互作用后，可以得到导带电子的哈密顿量：
p23DHc=+HSO2m
其中的三维自旋轨道耦合作用具有如下形式[42,43]：
3DHSO=β0K(p)·σ+α0ε·(p×σ)(2.1)(2.2)
这里的σµ(µ=x,y,z)是电子自旋的泡利矩阵，p是载流子的动量，而
Kµ(p)=pνpµpν µ,ν,δ
ν,δ(2.3)
在公式(2.2)中，第一项是Dresselhaus自旋轨道耦合作用项，它起源于体材料的反演对称破缺[43]；第二项是Rashba自旋轨道耦合作用项，它来源于结构
二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应
的反演对称破缺[42]。这两项都会影响电子的自旋，其作用相当于一个大小和方向都与波矢k有关的局域磁场。而有效电场ε是由加在系统上的外部电压导致的不对称性引起的，即我们可以通过外部门电压去控制Rashba耦合项的强弱。
当我们处理二维体系（比如量子阱系统）时，在一定条件下，可以通过忽略掉弱的带际混合，并只保留动量p的x,y分量的线性贡献，将三维的自旋轨道耦合作用退化到二维的形式：
2DHSO=HR+HD
αHR=(σxpy σypx) βHD=(σypy σxpx) (2.4a)(2.4b)(2.4c)
其中α=α0 εz ，β=β0 p2z ， ... 表示在二维体系最低的能带上求平均。通常像GaAs材料这样的量子阱，Rashba与Dresselhaus耦合作用的强度有相同的量级；而像InAs这样的窄带隙半导体材料，Rashba耦合作用占主导地位[44–46]。
同时我们在讨论二维GaAs量子阱系统时，由于量子阱的约束，电子在z方向上的运动是量子化的，具有分立的本征函数和本征能量。我们进一步假设不同子带之间的能级间距足够大，使得只有最低子带上有电子占据，并且不同子带之间的跃迁可以忽略不计，在此情形下我们只需要考虑自旋轨道耦合对最低子带的影响，在以下各章节的讨论中，我们都承认这个假设。
2.2二维Rashba自旋轨道耦合系统的本征值与本征态
在二维Rashba自旋轨道耦合电子系统中，单电子的哈密顿量具有如下形式[42]：
=H 0+H RH
2pα )z=+( σ×p2m
2αp+( σxp y σ yp x)=2m (2.5)
是二维电子的动量算符，σ 是泡利矩阵算符，α是其中m是电子有效质量，p
Rashba耦合系数，它可以通过一个垂直于二维电子系统平面的外部门电压进行强度调节。
二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应
为数值，在动量表象中，算符p我们把哈密顿量(2.5)式写成二维矩阵形式：
210010 ipαH=+py px2m01 10i0
=p2
α
α (py+ipx)p2(py ipx)(2.6)
求解(2.6)式的久期方程，可以得到该哈密顿量的本征值：
2pα E(py+ipx)=0detαp2(py ipx) E化简可得：
2 p2α222 E=(p+pyx)2m 2
α22=p2 (2.7)(2.8)
本征值为：p2αE±=±p2m
它的色散关系曲线如图(2.1)所示。
接下来我们求哈密顿量(2.5)的本征矢量，该本征矢量具有如下形式：
ξeik·r
η
当E=E =p2
2m(2.9) α
p时，
2ξξpαik·rik·rHe= pe2m ηη(2.10)
即α(σxpy σypx) η
写为矩阵形式：
α
ξ ξα= p η ξα= p η(2.11)0(py ipx)α (py+ipx)ξ
0η(2.12)
二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应
图2.1Rashba自旋轨道耦合系统的色散关系示意图。
Fig2.1Dispersionrelationsketchforthe2DRashbaSOcouplingsystem.
可以得到， α
α
(py+ipx)η= αpξ(py ipx)ξ= αpη我们令ξ=1，那么η= (py ipx)/p，再根据归一化条件|ξ|2+|η|2=1，则本征值E 的本征矢量为：
ψk 1= 1ipx py
peik·r(2.13)
同样，我们可以得到本征值E+的本征矢量为：
11ψk+=eik·r
py ipxp(2.14)
所以，包含Rashba耦合项的单电子的本征值和本征矢量分为两支，它们为：1ψkλ(r)= 1ky ikx
λeik·r(2.15)(2.16) 2k2
Eλ(k)=+λαk2m
其中λ=±1。
二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应
2.3二维Dresselhaus自旋轨道耦合系统的本征值与本征态
在二维Dresselhaus自旋轨道耦合电子系统中，单电子的哈密顿量具有如下形式[43,47,48]：
=H 0+H DH
2pβ=+( pyσ y p xσ x)2m
Dresselhaus耦合系数，它由半导体材料的性质决定。
与求解Rashba自旋轨道耦合系统时一样，在动量表象中，把哈密顿量H
写成矩阵形式：
100 i01βp+py pxH=2m01 10i02(2.17) 是二维电子的动量算符，σ 是泡利矩阵算符，β是其中m是电子有效质量，p
=p2
β
(px+ipy)
p2
β
(px ipy)(2.18)
求解(2.18)的久期方程，可以得到含有Dresselhaus项的单电子的哈密顿量的本征能量：
det
即 p22m E β (px+ipy)p22m β (px ipy) E=0(2.19)βp2
±p(2.20)E±=2m
可以看到，Dresselhaus自旋轨道耦合与Rashba耦合具有相同的色散关系曲线，它们具有等价性。