接下来我们求哈密顿量(2.17)的本征矢量，它具有与Rashba耦合本征矢量相同的形式。我们取E =p2
β
p为例， ξ ξβ= p η
ξβ= p ηβ(σypy σxpx) η即 (2.21)0(px ipy) β (px+ipy)ξ
β
0η(2.22)
二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应
矩阵元素对应相等，得：
β
β
(px+ipy)η=(px ipy)ξ=ββ
pξpη
同样，我们令ξ=1，则η=(px ipy)/p，再根据归一化条件，我们得到对应本征能量E 的本征矢量为：
1ψk = 1px ipy
peik·r(2.23)
同理，我们可以得到对应本征能量E+的本征矢量为：
11ik·reψk+=ipy px
p(2.24)
因此，与Rashba耦合类似，包含Dresselhaus耦合项的单电子的本征值和本征矢量也分为两支，它们为：
1ψkλ(r)= 1kx iky
k λeik·r(2.25)
(2.26) 2k2
+λβkEλ(k)=2m
其中λ=±1。
2.4Rashba-Dresselhaus自旋轨道耦合系统
现在，我们将Rashba耦合与Dresselhaus耦合一并考虑进来，这时二维电子系统的单电子哈密顿量可以写作：
=H 0+H R+H DH
2pαβ=+( σxp y σ yp x)+( σyp y σ xp x)2m
R-D自旋轨道耦合系统的本征能量表达式为：
2k2
E±(k)=±(αky+βkx)2+(αkx+βky)22m
2k2 2=±(α+β2)+2αβsin2 k2m(2.27)通过与求解Rashba或Dresselhaus耦合系统本征值相同的方法，我们得到(2.28)
二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应
图2.2R-D自旋轨道耦合系统的k 关系示意图。
Fig2.2k relationsketchfortheR-DSOcouplingsystem.
其中， 为波矢k=k(cos ,sin )与kx轴的夹角。
R-D自旋轨道耦合系统的本征矢量为：
11ik·rψk,±(r)=e±eiχ(k)
其中
χ(k)=arg[ αky βkx+i(αkx+βky)](2.30)(2.29)
接下来我们取本征能量E=Ef，并反解方程(2.28)，可以得到费米波矢模kf的表达式：
fk±= m 22[α2+β2+2αβsin2 ]
+2mEf+ 2m 22[α2+β2+2αβsin2 ](2.31)
这里的±号与色散关系曲线的两条分支相关。而费米波矢则可以写作：
ffk±=k±(cos ,sin )(2.32)
二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应
从(2.31)式我们可以看到，费米波矢模不但与Ef有关，还与 角有关，这种角度依赖关系如图(2.2)所示。
通过(2.31)式我们还可以得到电子密度n与费米能量Ef的关系式，我们只考虑绝对零度时的情形：
n= θ(Ef E)
µ=±,k
1 2 πkfµ
=(2π2kdkd
µ=±)00
= 1 2π
d 1[kfµ(Ef, )]2
µ=±(2π)202
将(2.31)代入上式，平方的交叉乘积项抵消，就可以得到[49]：
2
n=12m
2π 2Ef+2m
2(α2+β2)
方程(2.31)、(2.34)将在后面的计算中用到。(2.33)(2.34)
二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应
第三章二维无杂质自旋轨道耦合系统的自旋霍尔效应在这一章里，我们将介绍二维无杂质Rashba自旋轨道耦合系统的自旋霍尔效应。最开始先介绍无外部电场时，自旋轨道耦合系统的自旋极化情况；再介绍当外加一个x方向电场时，系统的自旋极化情况；最后计算得到固有自旋霍尔电导。
3.1无电场Rashba自旋轨道耦合系统的自旋极化
我们先看一下没有在二维平面内加电场时，Rashba自旋轨道耦合系统自旋极化的情况。
在动量表象里，二维Rashba自旋轨道耦合电子系统的单电子哈密顿量写作[42]：
H0 2k2= α(ez×k)·σ2m
2k2
= αk(σycosθ σxsinθ)2m(3.1)
其中ez是垂直于二维平面的单位矢量，k=k(cosθ,sinθ)是电子动量，σ=(σx,σy,σz)是泡利矩阵，而α是Rashba自旋轨道耦合系数。
哈密顿量(3.1)的本征能量写作：
Ek,λ 2k2= λαk2m(3.2)
其中λ=±1，而相应的本征矢量为：
iθ1iλe|kλ =1(3.3)
其中
tanθ=ky
kx
单电子自旋在本征态|kλ 下的平均值写作：
(0)Sλ(k) kλ|σ|kλ =2
(0)(0)=Sλ,x(k)ex+Sλ,y(k)ey(3.4)
二维自旋轨道耦合电子系统中的自旋霍尔效应
(0)(0)其中ex和ey是平面内x与y方向的单位矢量，而Sλ,x(k)与Sλ,y(k)是自旋的
x与y方向的分量，它们可以通过以下的推导得到：
Sλ,x(k)=(0) kλ|σx|kλ 2 iθ01iλe 1= iλeiθ122101 iθiλe iθ=1 iλe41
( iλeiθ+iλe iθ)4 = iλ×2isinθ4 =λsinθ2 ky=λ2k=(3.5)
Sλ,y(k)=(0) kλ|σy|kλ 2 iθ0 iiλe 1= iλeiθ122i01 iθiλe iθ=i λe41
( λe iθ λeiθ)4 = λ×2cosθ4 = λcosθ2 kx= λ2k=向与动量k有关。(3.6)这些方程显示哈密顿量(3.1)的本征态在平面内是自旋极化的，而且自旋极化方