线性代数与解析几何实验报告
姓名 张循硕 班级 电气48 学号 2140401237 任务 1. 矩阵基本运算 2. 实际问题（车流量）
2014 年 12 月 07 日
一、 实验问题
1．利用MATLAB操作矩阵基本运算，矩阵的初等变换和秩的求解，有关方阵的特征
值和特征向量的求解。
2．下图给出了某城市部分单行街道的交通流量(每小时通过的车辆数)。图中有6个路
口，已有9条街道记录了当天的平均车流量，另有7处的平均车流量未知。试利用每个路口的进出车流量相等关系来推算这7处的平均车流量。
二、 问题分析
1. 利用matlab操作矩阵基本运算，矩阵的初等变换和秩的求解，有关方阵
的特征值和特征向量的求解(A=[2,1,1;1,2,1;1,1,2]) (1)矩阵初等变换即把矩阵A的第r行乘以数字k，把矩阵A的第c列乘以数字s，交
换第i和第j行，矩阵第i行乘以常熟k加到第j行。
(2)秩的运算即可用rank（A）实现。
(3)MATLAB中计算矩阵特征值和特征向量的命令是eig(A)。 2. 计算7处的平均车流量
(1)对于每个道路交叉点都要求流量平衡，因而可以建立一个流量平衡方程。引入每
=800
=600
小时通过各交通干道的车辆数x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,得到方程组
。
2
(2)将方程组写成矩阵向量形式为AX = b
其中
800
600
， ,
X = [x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7]T当方程组的系数矩阵A的秩与增广矩阵[A b]的秩相等时，该问题有无穷多组解,通过各路段的车辆数x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7必须是非负整数。
(3) 由于增广矩阵的秩为5<7，而方程组含有7个未知数x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7，故
方程组的通解中含有两个自由未知数。最后的数据结果是与增广矩阵等价的最简行阶梯形矩阵。由最简行阶梯形矩阵，可得与原方程组等价的简化后的方程组
=600
取x6，x7为自由未知数，直接可得原方程组的通解形式
600
3
三．程序代码
1. 利用matlab操作矩阵基本运算，矩阵的初等变换和秩的求解，有关方阵
的特征值和特征向量的求解(A=[2,1,1;1,2,1;1,1,2])
(1)初等变换和秩 A=[2,1,1;1,2,1;1,1,2] syms b tx tz A(2,:)=4*A(2,:) A([1,2],:)=A([2,1],:) A(2,:)=A(2,:)+4*A(1,:) b=rank(A)
(2)矩阵特征值与特征向量的计算 A=[2,1,1;1,2,1;1,1,2] syms tx tz [tx tz]=eig(A) poly(A)
2. 下图给出了某城市部分单行街道的交通流量(每小时通过的车辆数)。图
中有6个路口，已有9条街道记录了当天的平均车流量，另有7处的平均车流量未知。试利用每个路口的进出车流量相等关系来推算这7处的平均车流量。
A=[1 0 1 0 0 0 0;1 -1 0 1 0 0 0;0 1 0 0 -1 0 0;0 0 1 0 0 1 0;0 0 0 1 0 1 -1;0 0 0 0 1 0 -1];
b=[700;200;200;500;0;-200]; r1=rank(A) r2=rank([A b])
4
B=rref([A b]) B(:,6) B(:,7)
四．结果分析
1. 利用matlab操作矩阵基本运算，矩阵的初等变换和秩的求解，有关方阵
的特征值和特征向量的求解(A=[2,1,1;1,2,1;1,1,2])
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