解：方程两边同时对x求导,得
eydydycosx??cosx?0???y, dxdxe 由题设,有eyyx?sint?0, 即 ey?1?sinx, 00 所以
★★5．设
dycosx?. dxsinx?1tt00x??sinudu，y??cosudu，求
dy dx知识点：积分上限函数求导公式
思路：利用积分上限函数和参数方程求导公式求得
dyyt?cost?????cott. 解:因为xt?sint,yt?cost， 所以
dxxt?sint★★★6．求下列极限：
?(1)limx?0x0cost2dtx;
知识点：积分上限函数求导公式；罗必达法则 解: 因为limx?00?xcostdt??cost2dt?0,
0x020?利用洛必达法则： limx?0cost2dtxcosx2?lim?cos0?1. x?01?(2) limx?0x0arctantdtx2;
知识点：积分上限函数求导公式；罗必达法则
1arctantdt(?arctantdt)?arctanx?1?x2?1. 00?lim?lim?lim解: limx?0x?0x?0x?0x2(x2)?2x22xx?(3) limx?0x201?t2dtx2;
知识点：积分上限函数求导公式；罗必达法则
?解: limx?0x201?tdtx22?limx?0(?x201?t2dt)?(x2)?1?x4?2x?lim?1. x?02x★★★7．设
f(x)f(x)在0?t???上连续
(1)若
?0t2dt?x2(1?x)，求f(2)
知识点：牛顿—莱布尼茨公式
思路：利用牛顿—莱布尼茨公式求出函数表达式,再把特殊点代入求值 解: 因为
?f(x)01f(x)13t2dt?t3?f(x),
303 所以
13f(x)?x2(1?x)?f(x)?33x2(1?x), 3 故
f(2)?33?22(1?2)?336.
★★★8．当
x为何值时，函数I(x)??x0tedt有极值？
?t2知识点：函数的单调性求极值
思路：求出函数的驻点,并判断函数在该点左右区间的单调性,利用单调性判断极值点 解: 因为I?(x)?xe?x, 令I?(x)?0,,得驻点x?0.
而当x2?0时, I?(x)?0;当x?0时, I?(x)?0.
?0时,函数I(x)??te?tdt取得极小值也是最小值.
02x 所以当xx2★★★9．设
x?0，问x取何值时?dt1?t3x最大
知识点：函数的单调性, 积分上限函数求导公式
思路：求出函数的驻点,并判断函数在该点左右区间的单调性 解：设g(x)??2xdt1?t3x, 而g?(x)?21?8x3?11?x3?21?x3?1?8x3(1?8x)(1?x)33.
由g?(x)?0.解得驻点为x0?33 4 ∵当x?0时，(1?8x3)(1?x3)?0,要使21?x3?1?8x3?0，
331?x311?x3133只要21?x?1?8x?????x?1?8x321?8x344∴当0?
x?334时， g?(x)?0；当x?334时，g?(x)?0
因此, 当x?334时,函数
?2xdt1?t3x取到最大值.
★★10．计算下列各定积分：
(1)
?21(x2?1)dx; 4x知识点：牛顿—莱布尼茨公式
思路：利用牛顿—莱布尼茨公式先求出原函数,再代入积分上下限 解:
??2191x31211116321(x?4)dx?(?3)?[23?3?(13?3)]???
x33x13213882(2)
4x(1?x)dx;
知识点：牛顿—莱布尼茨公式 解:
?094321122x29x(1?x)dx??(x?x)dx?(x?)?(27?8)?(81?16)?45.
4263243912(3)
?3adxa2?x2;
知识点：牛顿—莱布尼茨公式 解:
?3a0dx1x?arctana2?x2aa03a?11?arctan3?arctan0?. aa3a(4)
?121?2dx1?xdx2; 知识点：牛顿—莱布尼茨公式 解:
??121?21?x2?arcsinx?1/2?;
1/2??(?)?. 663???(5)
40tan2?d?知识点：牛顿—莱布尼茨公式
??20解:
?40tan?d???4(sec2??1)d??(tan???)0?1?1?cos2xdx;
?/4?4.
(6)
?3?40知识点：牛顿—莱布尼茨公式
思路：利用牛顿—莱布尼茨公式求出原函数,再代入积分上下限求得 解:
?3?401?cos2xdx???203?402cosxdx?2?23?40cosxdx
?/20 ??2cosxdx???3?42cosxdx?2sinx?2sinx3?/42?/2?22?1.
★★11．设
?1?sinx0?x??f(x)??2
x?0或x???0?,求?(x)??x0f(t)dt在???,???内的表达式.
知识点：牛顿—莱布尼茨公式
思路：?(x)??x0f(t)dt随x而变，并注意到被积函数f(x)在不同区间的表达式不同,所以必要时对
?x0f(t)dt进行分段积分。
解:当x?0时, ?(x)?当0?x???x00dt?0,
时, ?(x)???x0x1?cosx11xsintdt??cost??sin2,
02222当x??时, ?(x)??0x1sintdt??0dt?1.
?2?0x?0??2x所以 ?(x)??sin 0?x??2?x??1??★★★12．设
10
f(x)连续,若f(x)满足?f(xt)dt?f(x)?xex,求f(x)
知识点：积分上限函数求导公式
思路：换元法求得积分上限函数,再对积分上限函数求导 解:令u?xt,则
?10f(xt)dt??f(u)0xdu1x??f(u)du, xx0 因此
f(x)满足?f(u)du?xf(x)?x2ex,
0x 两边关于x求导,可得： 因此 ∴
f(x)?f(x)?xf?(x)?2xex?x2ex.
f?(x)??(2?x)ex,说明f(x)是?(2?x)ex的原函数.
f(x)???(2?x)exdx??(x?1)ex?C C为任意常数.
★★★13．设
f(x)??x0ln(1?t)1dt(x?0),求f(x)?f() tx1x知识点：积分上限函数
思路：用换元法改变积分限，使f(x)和f()积分限相同
1ln(1?)u?1/t1ln(1?t)x1xu解:由于 f()??dt???du
11xtuxln(1?u)xlnudu??du, ???11uu 而
?x1lnu11du?(lnu)2?(lnx)2 u221x 因此：
xln(1?t)xln(1?u)111f(x)?f()??dt??du?(lnx)2?(lnx)2.
11xtu22★★★14．设
f(x)在?a,b?上连续,在?a,b?内可导,且f?(x)?0
1xf(t)dt，证明:在?a,b?内有F?(x)?0
x?a?a F(x)?知识点：积分上限函数的导数,积分中值定理,拉格朗日中值定理 证明: F?(x)?f(x)(x?a)??f(t)dt(x?a)a2x
?f(x)(x?a)?f(?)(x?a) (a???x)
(x?a)2f(x)?f(?)f?(?)(x??)? (????x)
(x?a)(x?a) ?∵a???x，f?(x)?0?f(?)?0，∴F?(x)?0 习题5-4
★★1．用定积分换元法计算下列各积分
(1)??3sin(x?3)dx
?3)）
??知识点：定积分换元法（凑微分：dx?d(x??解:
?2?sin(x?)dx?sin(x?)d(x?)??cos(x?)?cos?cos?0 ???3?3333?/3333?1?????(2)
??11?5x??2dx3
知识点：定积分换元法（凑微分：dx?1d(11?5x)） 51解:
??11?5x??21dx3111?3?2???11?5x?d?11?5x????11?5x?
?2510?2 ???151(16?2?1)?. 10512(3)
?20sin?cos3?d?
知识点：定积分换元法（凑微分：sin?d???dcos?）
11解: ?2sin?cos3?d????2cos3?dcos???cos4??.
00440???/2