?(4) ?2cos6?2udu
知识点：定积分换元法
思路：先用三角公式降低被积函数的幂次，再逐项积分。
1?cos2u11解: ??2cosudu???2du?[(u?sin2u)]
222?/6662???/2 ?1?13?3(?0??)??. 232268(5)
?50x3dx 2x?112dx） 2知识点：定积分换元法（凑微分：xdx?思路：先将被积函数（假分式）化成真分式，再逐项积分。 解:
?5035x?x?x5x315d(x2?1)dx??dx??xdx?? 222000x?1x?12x?155x21251?ln(x2?1)??ln26. ?202220(6)
?502x2?3x?5dx
x?3知识点：定积分换元法
思路：先将被积函数（假分式）化成真分式，再逐项积分 解:
?5052x(x?3)52x2?3x?53x?944dx??[??]dx??(2x?3?)dx
00x?3x?3x?3x?3x?3258?3x?4ln(x?3)]?10?4ln?10?12ln2?4ln3.
03 ?[x1(7)
xdx??1(x2?1)2
知识点：定积分换元法（凑微分：xdx?11d(x2?1)） 21xdx11d(x2?1)1????0. 解: ??1(x2?1)22??1(x2?1)22(x2?1)?1(8)
?21exdx 2x1知识点：定积分换元法（凑微分：
1211dx??d()） x2x解:
?121121ex1xx2 dx??ed()??e?e?e.2?1xx1t22(9)
?te01?dt
t2知识点：定积分换元法（凑微分：tdt??d(?)）
2t解: ?tedt???ed(?)??e021t2?2t21?202t2?21??1?e.
012(10)
?2axdx3a?x220
知识点：定积分换元法
解:方法一： 令x?3asint,则dx?3acostdt,不妨设a?0,
?2axdx3a?x220??arcsin233a2sintcostdt3a1?sint2arcsin2/300??arcsin2303asintdt
??3acost?(3?1)a.
方法二：凑微分：xdx??1d(3a2?x2) 22a0?2a012ad(3a2?x2)1??????23a2?x22023a2?x23a2?x2xdxe2?(3?1)a
(11)
?1dxx1?lnx 知识点：定积分换元法（凑微分：
1dx?d(1?lnx)） x解:
?e21e2d(1?lnx)e2dx???21?lnx?2(3?1). 11x1?lnx1?lnx?(12)
??sinxcos2xdx
2?2知识点：定积分换元法（凑微分：sinxdx??d(cosx)） 思路：用三角公式化被积函数为可求积分的函数
??2???解:
222sinxcos2xdx?sinx(2cosx?1)dx??(2cosx?1)dcosx ??????2?22223 ?(cosx?cosx)?0.
3??/2??/2(13)
??2?cosx?cos3xdx
2知识点：定积分换元法
思路：用三角公式化被积函数为可求积分的函数
??322???解:
??2?2cosx?cosxdx?2??cosxsinxdx?2?2?cosxsinxdx
22 ?12?2?(cosx)33?/2204?. 3(14)
?002x?x2dx
知识点：定积分换元法（变量代换去根号） 解:
?12x?xdx??1?(x?1)d(x?1)?0212x?1?sint???02costdsint???cos2tdt
?201011? ?(1?cos2t)dt?(t?sin2t)?. ???22224??/2(15)
0?0202?x2dx
x?2sint知识点：定积分换元法（变量代换去根号） 解:
?2?20?20?02?xdx2?2?21?sintd(2sint)?2?2costdt??2(1?cos2t)dt
?t?/201?1??sin2t???0?. 22220?/2(16)
?3dxx211?x2 知识点：定积分换元法
方法一：用三角代换去根号 解:
?3dxx2x?tanu2?11?x???34?sec2ududsinu1233????2?. ?22?tanusecusinu?/434sinu?/3方法二：倒代换
?3dxx21?x2x?1/u1???2331133d(1?u2)?????1?u2211?u21?u2udu3/31?2?23. 3(17)
?10(1?x)2?3dx
知识点：定积分换元法 思路：用三角代换去根号 解:
?10(1?x)2?32dx?x?tant??3?40(1?tant)22?20sectdt??4costdt?sint0??/42. 2(18)
?1?1xdx5?4x
知识点：定积分换元法 思路：用变量代换去根号 解:
?1?1xdx5?4x5?4x?u315?u2u1311????du??(5?u2)du?(5u?u3)?.
3164u281831(19)
?134dx 1?x?1知识点：定积分换元法 思路：用变量代换去根号 解:
?13411?x?u0?2ududxu?1?1du ??1?2?20u?11?x?12u?11201/21)du?2(u?lnu?1)0?1?2ln2. u?1 ?2?(1?(20)
?0?3x?1dx x?4知识点：定积分换元法 思路：用变量代换去根号 解:
?0?3x?4?t2t2?4?122x?114dx??2tdt?2?(t2?3)dt?2(t3?3t)??.
111t33x?4(21)
?1xe?xe?e?x0dx
知识点：定积分换元法
方法一：凑微分：edx??d(e)
?x?x解:
?1xe?xe?e?x0dx??1e?x1?e?2x0dx???1d(e?x)1?e?2x0??lne?1?e?x?2x1
0?ln(1?2)?ln(1?1?e2)?1.
方法二：作代换：e?x1?t,则x??lnt,dx??dt
te?11e?11111?dt???dt???1dt
221et11?t1?t?tt 则
?1xe?xe?e?x0dx???1e?1t?ln(t?1?t)12?ln(1?2)?ln(1?1?e2)?1.
★★2．用分部积分计算下列定积分
(1)
?0xe?xdx
知识点：分部积分法
思路：利用分部积分去多项式函数 解:
?e10xe?xdx???xde?x??(xe?x)??e?xdx
000111 ?(2)
?e?e?1?x102?1?.
e?1xlnxdx
知识点：分部积分法
思路：利用分部积分去对数函数（lnx）
ee1e122解: ?xlnxdx??lnxd(x)?[xlnx??xdx]
1112121212e12 ?[e?x]?(e?1).
2214e(3)
?10xarctanxdx
知识点：分部积分法
思路：利用分部积分去反三角函数
21x111122dx] 解: ?xarctanxdx??arctanxd(x)?[(xarctanx)??0001?x22021211?x?11?11??1 ?[??dx]??[x?arctanx]??.
0422401?x2821?/42（或者先变量代换再分部积分：?xarctanxdx??ttantdtant??td(tant)）
0020?/4?/41?1?/4?1?1?/4?[ttan2t??tan2tdt]???(sec2t?1)dt??tant0??）
00282042421arctanx?t?/4