解：因为
?x2f(x)?min(2,x)???22
x?2x?2?2
所以
?2?3min(2,x)dx??f(x)dx???322?32dx??2?2xdx??2dx?10?222823
★★22.用分部积分计算下列积分
知识点：分部积分法
(1)
?e1elnxdx
e1ee1解：
?1elnxdx???1lnxdx??lnxdx?(xlnx)1??dx?(xlnx)1/e??1dx
e11ee1 (2)
112?e?e?1??1??2?.
eee?10x5ln3xdx
10解：
?x5ln3xdx?
1113163111521126lnxdx?xlnx?3xlnxdx??lnxdx6 ???06066012016211151151??xlnx??xlnxdx???xdx??.
012603602166klnkxklnk?1xk!注：xlnx?0?limxlnx??lim?lim?lim?0， ?6?6kk?6?0x?0?x?0?xx?0?x?06x(?1)36x6k （k?N） (3)
ln(1?x)?0(2?x)2dx
1解：
11ln(1?x)1?1?ln(1?x)dx?ln(1?x)d??dx ???0(2?x)2?0?02?x0(1?x)(2?x)?2?x?11
111111?x?ln2??(?)dx?ln2?ln301?x2?x32?x101?ln2. 3★★★23.利用函数的奇偶性计算下列积分
知识点：在对称区间上的积分,若被积函数为奇函数,积分结果为0.若被积函数为偶函数,积分结果为单侧区
间积分的两倍. (1)
?1?1(2x?x?1)2dx
1?1解：
?(2x?x?1)dx??(5x2?2x?1?4xx?4x)dx
?121 因为4xx?4x为奇函数, 5x2?2x?1为偶函数,
所以,原式?(2)
?1?1(5x?2x?1)dx?2?(5x2?2x?1)dx?02122. 3??(??1?cos2x?xsinx)dx
解：因为xsinx是???,??上的奇函数,且1?cos2x是???,??上的偶函数
所以
??xsinxdx?0.
?? 原式?????1?cos2xdx?2??01?cos2xdx?22?cosxdx
0?
???2??22??cosxdx???cosxdx??42.
2?0?e★★24.设定积分I1??lnxdx,I2??ln2xdx,则( )
11e(A) (C)
I2?I12?0 (B) I2?2I1?0 I2?2I1?e (D) I2?2I1?e
eee知识点：分部积分法. 解：∵ I2? 从而I2★★25.填空:
?1lnxdx?xlnx?2?lnxdx?e?2I1
1122?2I1?e，故选C
?1?1(x?1?x2)2dx?________.
知识点：利用函数的奇偶性计算定积分.
解：应填2.理由是：
?1?1(x?1?x)dx??(x?2x1?x?1?x)dx??2x1?xdx??dx??dx?2?15?1?1?12212221211★★26.填空:设
f(5)?2,?f(x)dx?3,则?xf?(x)dx?________.
005知识点：分部积分法. 解：应填7.理由是：
?50xf?(x)d?x?50x(d(f)x?)a0x(0f)?x?550(f)x? dx7★★★27.证明:
?a?a?(x2)dx?2??(x2)dx,其中?(x)为连续函数
知识点：利用函数的奇偶性计算定积分..
222证:由?(x)及x的连续性可知等式两边的积分都存在,显然???(?x)????(x),
从而?(x2)为区间??a,a?上的偶函数,所以
?a?a?(x)dx?2??(x2)dx
01dxdxx??x1?x2?11?x212a★★★28.证明:
(x?0)知识点：换元积分. 证:设x?
11,则dx??2dt,
tt111dxdtdtdxtx?????x1?x2?1tt2(1?12)?11?t2?11?x2.
t1?★★★★29.已知
f(x)?tanx,求?04f?(x)f??(x)dx
2知识点：换元积分法.
解： 因为f?(x)?2tanx?sec2x,
? 所以
?40?/4112?/4244??????f(x)f(x)dx??f(x)df(x)?[f(x)]?[4tanx?secx]?8.
00022?★★★★30.设连续函数
a?Tf(x)是一个以TT为周期的周期函数,试证明:对任意的常数a,有
?af(x)dx??f(x)dx,
0并说明其几何意义
知识点：第一类换元积分法. 方法一 、证：
在
?a?Taf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??a00Ta?TTf(x)dx
?a?TTf(x)dx积分中,设x?T?t,则dx?dt f(x)dx??f(t?T)dt??f(t)dt
00aa 从而 所以
??a?TTa?Taf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??f(t)dt??f(x)dx
a0000TaT其几何意义是在任意一个周期内曲边梯形面积的代数和均相等.
方法二、证：令F(a)? ∵F?(a)? ∴
?a?Taf(x)dx
f(a?T)?f(a)?0?F(a)?C?F(0)
T?a?Taf(x)dx??f(x)dx
0★★31.设
2?x20?x?1f(x)?? ,求?f(x)dx
0?2?x1?x?2知识点：定积分的性质.
思路：根据分段函数表达式，把整个区间上的积分分为几个分段积分之和来求解 解：
?20f(x)dx??xdx??01221x31x225(2?x)dx??(2x?)?.
302162)dx x?1★★★32.求定积分
?4?2(x2?3x?知识点：定积分的性质. 思路：函数x??4?xx?0也可看作分段函数，因此，如上题（31题）提示求解
??xx?004222)dx??(x2?3x?)dx??(x2?3x?)dx
?20x?1?x?1x?1解：
??2(x2?3x?0413321332?(x?x?ln1?x)?(x?x?ln1?x)
?203232 ??6?ln15.
a?b★★★33.设函数f(x)在?a,b?上连续,且f(x)在关于x?对称的点处取相同的值,试证:
2
?baf(x)dx?2?a?b2af(x)dx
知识点：定积分的性质. 证: f(x)在关于x? 令
ba?b2对称的点处取相同的值表明：
f(a?ba?b?t)?f(?t) 22a?ba?ba?b?t?x，则f(?t)?f(?t)?f(x)?f(a?b?x) 222a?b2a?af(x)dx??f(x)dx??a?bf(x)dx
2bb 又因为
?ba?b2f(x)dx??a?bf(a?b?x)dx
2 设t?a?b?x,则?a?bf(x)dx???a?bf(t)dt??22baa?b2af(t)dt??f(x)dx.
a?b2af(x)dx
所以
?baf(x)dx??a?b2af(x)dx??a?bf(x)dx?2?2ba?b2a★★★★34.证明:
?a1aa2dxa2dxf(x?2)??f(x?)
1xxxx2知识点：换元积分法. 解：设t?x，则
2?a1a2dx1a2a2dtf(x?2)??f(t?)
xx21tt2
a21?aa2dta2dt????f(t?)??f(t?)?
a2?1tttt? 而对于
?a2aa2dta2f(t?)中，设u?ttt，则
?a2a1aaa2dta2dua2dua2dtf(t?)???f(u?)??f(u?)??f(t?),
a11ttuuuutta2a1aa2dta2dt1aa2dta2dt)?f(t?)]?[?f(t?)??f(t?) 所以[?f(t?121tt?att21ttttaa2dxa2dxf(x?2)??f(x?)
1xxxx2∴
?a1★★★★35.设
f(x)在?a,b?上连续,且严格单调增加,证明:
(a?b)?f(x)dx?2?xf(x)dx
aabb知识点：积分上限函数，函数的单调性
思路：把结果转化成积分上限函数，结果中的大小比较利用函数的单调性来求证 证:做辅助函数F(x)?(a?x) 则F?(x)?
又因为
?xaf(t)dt?2?tf(t)dt
axax?xaxaf(t)dt?(a?x)f(x)?2xf(x)??f(t)dt?(a?x)f(x)
xxaa??f(t)dt??f(x)dt???f(t)?f(x)?dt
f(x)在?a,b?上严格单调增加且连续，
xa 而t?x,?f(t)?f(x)?F?(x)?? 所以F(x)是严格减少，且F(a) 即(a?b)★★★★36.设
?f(t)?f(x)?dt?0
?0，F(b)?F(a)?0.
?baf(x)dx?2?xf(x)dx
abf(x)?0与f??(x)?0对x??a,b?成立,试证 f(x)?2bf(x)dx ?ab?a
知识点：泰勒公式，定积分的性质
解：将f(x)在t?[a,b]处展成一阶泰勒公式，
f(x)?f(t)?f?(t)(x?t)?1f??(?)(x?t)2,??(x,t) 2!