《概率论与随机过程》第一章习题答案
1. 写出下列随机试验的样本空间。
（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 解： S??,,?,n?10?0?，其中n为小班人数。 n?（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 解：S??3,4,?,18?。
?01?nn（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录
抽取的次数。 解： S??3,4,?,10?。
10,11,??。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 解： S??（5） 一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选
举的结果。
解： S??AB,AC,AD,AE,BA,BC,BD,BE,CA,CB,CD,CE,DA,DB,DC,DE,EA,EB,EC,ED?其中，AB表示A为正组长，B为副组长，余类推。
（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。
解： S??e0,e1,e2?其中，e0为和棋，e1为甲胜，e2为乙胜。
（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 解： S??r,w,b,rw,rb,wb,rwb?其中，r,w,b,分别表示红色、白色、蓝色。
（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次
品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
?其中，0为次品，1为正品。 ,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111解： S??00,100,0100（9） 有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察
装球的情况。
解： S??Aa,Bb,Cc;Ab,Bc,Ca;Ac,Ba,Cb;Aa,Bc,Cb;Ab,Ba,Cc;Ac,Bb,Ca?其中，Aa表示球a放
在盒子A中，余者类推。
（10） 测量一汽车通过给定点的速度。 解：S??vv?0?
（11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。
解： S???x,y,z?x?0,y?0,z?0,x?y?z?1?其中，x,y,z分别表示第一段，第二段，第三段的
长度。#
2. 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。
（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）
A发生，B与C不发生。 解：ABC A与B都发生，而C不发生。 解： ABC A，B，C都发生。 解： ABC
A，B，C中至少有一个发生。 解： A?B?C A，B，C都不发生。 解： ABC
A，B，C中至多于一个发生。 解： AB?BC?CA A，B，C中至多于二个发生。 解： A?B?C
A，B，C中至少有二个发生。 解： AB?BC?CA. #
1,2,?,10?,A??2,3,4?，B??3,4,5?，C??5,6,7?，具体写出下列各等式 3. 设S??（1）AB。 解： AB??5?；
1,3,4,5,6,7,8,9,10?； （2）A?B。 解： A?B??（3）AB。 解：AB??2,3,4,5?；
1
（4） ABC。 解： ABC??1,5,6,7,8,9,10?
（5）A(B?C)。 解： A(B?C)??1,2,5,6,7,8,9,10?. #
3??1??14. 设S??x0?x?2?，A??x?x?1?，B??x?x??，具体写出下列各式。
2??2??4（1）A?B。 解： A?B??x0?x????x???1?4??3??x?2? 2?1??3??x?1???x?x?2? 2??2?（2）A?B。 解： A?B??x0?x????x???1?4??（3）AB。 解： AB???? （4）AB。 解：AB??x??11??3??x????x1?x??. # 42??2?
5. 设A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?14，P(AB)?P(CB)?0，P(AC)?18，求A，
B，C至少有一个发生的概率。
5解：由题意可知：P(ABC)?0，故P?A?B?C??P?A??P?B??P?C??P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)?。
85或 ?(A?C)?B??，?P?A?B?C??P((A?C)?B)?P?A?C??P?B??P(A)?P?C??P(AC)?P(B)?。#
8
6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。
（1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。
解：（1）????1500???200??； ??（2） 设P(k)表示有k个次品的概率，故至少有2个次品的概率为：
??400??1100??????110???90????????
??110?0?P(k)?1?P(0)?P(1)?1???200???k?220000?150?0??40??110??????????200???1??199?????????????150?0???200? . # ??
7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？ （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解：（1） 属“分房问题”，即有n个人，每个人都以1N的概率被分在N间房中的每一间中，某指定房间
中至少有一人的概率。
设某指定房间中恰有k个人的概率为P(k)，则有
kn?k??n??n??1??N?1?n?k?nP(k)????k???N?1??N???k???N??N?。故，某指定房间中至少有一人的概率为：
??????????????N?1?P(k)?1?P(0)?1???。
N??k?1500nn 所以，500个人中至少有一个人的生日是10月1日的概率为：
?364? 1????365??1?0.25366?0.74634
（2） 属“分房问题”，即有n个人，每个人都以1N的概率被分在N间房中的每一间中，至少有二个
人在同一间房中的概率。
设A为“每一间房中至多有一个人” 基本事件个数：Nn。
“每一间房中至多有一个人”事件的个数为：
N!。
(N?n)!2
所以，“至少有二个人在同一间房中的概率”等于“至少有二个人的生日在同一个月的概率”。 N!(N?n)!12!(12-4）！1??1??1?0.5729?0.4271 。 # n4N12
8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求
第4只次品管子在下列情况发现的概率。 （1） 在第5次测试发现。 （2） 在第10次测试发现。 解：（1） ?????4?6?4?3?2?1?4?2?；或??3??310?9?8?7?6105?????10?2?10??4!??10!?2????； ?????4?3!4!?6!105?????? （2） ??3????6????9???5。 #
??????
9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A，B分别表示甲，乙二城市出现雨天这一
事件。根据以往的气象记录已知P(A)?P(B)?0.4，P(AB)?0.28，求P(A/B)，P(B/A)及
?4??6?P(A?B)。
解： P(A/B)?P(AB)0.28P(AB)0.28??0.7；P(B/A)??0.7 P(B)0.4P(A)0.4 P(A?B?P(A)?P(B)?P(AB)?0.4?0.4?0.28?0.52。 #
10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概
率。
（1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。
（3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。
?解： (1) ?； ?2????2???2!?6！?10！45?????8??10?8!?8!?2!28(2) (3) (4)
?2??10?8!?2!1??2???????！?45； ???2?10?8??2??10?8?2?8!?2!16822816????????；或； ?????1??1??2?10！4510910945??????82219。 # ????10910945
11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率
是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
??0.3; 解：(1) ??2????3???2!?7!10！??????0.6。 # (2) ??2????3???2!?2!5！?????4??5?4!3!?2!?9??10?9!3!?7!
12. 某工厂中，机器B1,B2,B3分别生产产品总数的25%，35%和40%。它们生产的产品中分别有5%，4%，2%
的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器B1,B2,B3生产的概率分别是多少？ 解：设A为“次品”，
已知：P(B1)?0.25，P(B2)?0.35，P(B3)?0.40；
P(A/B1)?0.05，P(A/B2)?0.04，P(A/B3)?0.02，
3
P(A)??P(A/B)P(B)?0.05?0.25?0.04?0.35?0.02?0.40?0.0345。故由，
jjj?13P(Bi/A)?P(A/Bi)P(Bi)可得：
P(A) P(B1/A)?P(A/B1)P(B1)0.05?0.2525???0.36232；
P(A)0.034569P(A/B2)P(B2)0.04?0.3528???0.40580；
P(A)0.034569P(A/B3)P(B3)0.02?0.4016???0.23188。 #
P(A)0.034569P(B2/A)?P(B3/A)?
13. 将二信息分别编码为A和B传送出去，接收站接收时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的
概率为0.01。信息A与信息B传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？
解：设：A?,B?分别表示收到信息是A 和B。由已知条件可知:
P(B?/A)?0.02，P(A?/B)?0.01，P(A?/A)?0.98，P(B?/B)?0.99P(A)?2/3，P(B)?1/3。
A?/B）?P(A)P(A?/A)?197/300 ?P(A?)?P(B)P(P(A)P(A?/A)196 ?P(A/A?)???0.9949。 #
P(A?)197
14. 如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器接点
闭合与否相互独立。求L至R连通的概率是多少？
12L4563R解: P[(1?3)?(2?3)?4?(5?6)]
?P(1?3)?P(2?3)?P(4)?P(5?6)?P(1?3?2)?P(1?3?4)?P(1?3?5?6)?P(2?3?4)
?P(2?3?5?6)?P(4?5?6)?P(1?3?2?4)?P(1?3?2?5?6)?P(1?3?4?5?6)?P(2?3?4?5?6)?P(1?3?2?4?5?6)?p?3p2?4p4?3p5?p6。 #
15. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7。飞机击中一
次而被击落的概率为0.2，击中二次而被击落的概率为0.6，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。
解: 设Ai：为第i次射击命中飞机；Bi：飞机击中i次而被击落。C：射击三次而击落飞机
P(C)?P(B1)P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?
??P(B2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)??P(B3)P(A1A2A3)
?0.2(0.06?0.09?0.21)?0.6(0.06?0.14?0.21)?0.14?0.072?0.246?0.14?0.458。 #
4
16.
一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的概率质函数。
?x?1?解： ? px???2????X ?5???3?? ??3 4 5 110 310 610 px 17. (1) 设随机变量X的概率质函数为P{X?k}?a（2）设随机变量X的概率质函数为P{X?k}????kk!，k?0,1,2,?,??0为常数，试确定常数a。
a，k?0,1,2,?,N?1，试确定常数a。 N?解： （1）??P{X?k}??ak!?a?k!?ae??1， ?a?e?
k?0k?0k?0?k??k(2) ??P{X?k}??k?0k?0?N?1aa?N*?1， ?a?1。 # NN18.
设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5
次独立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。
解：由题意可知： A A pk 0.3 0.7 ?n?k5?k设：Y?X1?X2???Xn，则P{Y?K}???k???0.3?0.7。
??Xk （1）n?5时，P(Y?3)?（2）n?7时，P(Y?3)? 19.
??7?5?k5?k???0.3?0.7?0.16308 ?k?k?3??5?7?k7?k??0.353。 # ?k???0.3?0.7k?3??一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率。（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。
4k?e?4解: ? 参数为4的泊松分布为：P{X?k}?， k?0,1,2,?。 故，
k!48*e?4?0.02977； (2) P{X?10}?1?(1) P{X?8}?。 # P{X?k}?0.002843508!k?0?10 20.
设随机变量X的分布函数为
??1?e?x,x?0, 求P{X?2},F(x)???x?0.?0,P{X?3}， （2）求概率密度f(x)。
解：（1）P{X?2}?F(2)?1?e?2?0.8647
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