解：E?Y?2X??EY?e???02xe?xdx??2e?xe?2x?x??0?2；
????2X?????01edx??e?3x3?1/3。 #
036. 设随机变量（X，Y）的概率密度函数为
?K,0?x?1,0?y?x,f(x,y)?? 试确定出常数K，并求E(XY)。
0,其它，?1?x1????K?解： ? f(x,y)dxdy?1， 故?Kdy?dx?Kxdx??1，? K?2
0?00????2??????E(XY)???????????xyf(x,y)dxdy????x?x?2ydy?dx?0?0?1?10x3dx?1。 # 437. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。 利用契契比雪夫不等式估
计每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率。
解： 已知：??7300，??700。
? ?5200?9400?/2?7300?? 故令??9400?7300?2100
?27002??1?2?1?P?X?????2100?8/9?0.8889
?21002??8/9?0.8889。 # ? P?X???2100???e??x,x?038. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)??，其中??0为常数。求E(X)和D(X)。
?0,x?0?
??1???y11??x解： E(X)??xedx?yedy??(2)?， （? ?(n?1)?n?(n)?n!）
?0??0??D(X)?E(X2)??E(X)?2????0?x2e??xdx?1?2?1?2???0y2e?ydy?1?2?1?2?(3)?1?2?1?2。 #
?xx2?39. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)???2exp(?2?2),x?0，其中??0为常数。求E(X)和D(X)。
?0,x?0?
解： E(X)????x20?2exp(?x22?)dx?2?2???0t2e?tdt?2??(1?1)?2?21?2??/2?，
（??(n?1)?22(2n?1)!!22n???）
exp(?x22?)dx?2D(X)?E(X)??E(X)???x3??220?2?2?2???0texp(?t)dt?2??2??22?4??2?。 # 240. 设随机变量X的概率质函数为P?X?k??pqk?1，k?1,2,?。其中0?p?1,q?1?p为常数，则称 X服
从参数为p的几何分布。试求E(X)和D(X)。
解：E(X)??k?1?kpqk?1????k??1??1???p?q??p??p?1?q???1?q?2??????k?1???1??， ?p? 11
D(X)?E(X)??E(X)??E[X(X?1)]?E(X)??E(X)??222?k?1?k(k?1)pqk?1?11?2 pp????k??2??qq1????pq=pq?q??2?pq??1?q?2??1?q?3??pp????k?1???qq???。 # 2?p2p?141. 设随机变量(X，Y)的概率密度函数为.f(x,y)?(x?y),0?x?2,0?y?2。求E(X)、E(Y)、
8Cov(X,Y)。
解： E(X)???????????xf(x,y)dxdy?18??02[20(x2?xy)dy]dx?18?220(x2y?xy1)dx?240222?2020(x2?x)dy?7， 6E(Y)?????????1yf(x,y)dxdy???8??02[201(y2?xy)dx]dy?8?0x2y12(yx?)dy?240?(y2?y)dy?7， 6Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?4771????， 36636E(XY)?????????1xyf(x,y)dxdy???8?[?02201(xy?xy)dx]dy?822?20xyxy(?)dy?3203222?20yy24(?)dy?。# 34342. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且
它们都在（-0.5，0.5）上服从均匀分布。
（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？
解： 设X为取整误差，则E(X)?0,D(X)?σ2?1/12。
（1） P????1500k?1?1?Xk?15??P???1500/12?15001500k?1?Xk?15/125?1.34?
?或：P??????Xk?1.34?
?125k?1???1?150015001Xk?1.34??P?Xk??1.34?] k?1k?1125??125?1.341?1.34122?1?e?t/2dt?e?t/2dt
????2?2??1?0.9099?0.0901?0.1802
??150015001?Xk?15??P?Xk?15/125?1.34? k?1k?1??1500/12??1?1500?2[1?P?Xk?1.34?]k?1?125?1.3412?2[1?e?t/2dt]?2?[1?0.9099]?0.1802
??2?1???1?P?????1?[P?????????
?（2） ?P???n1?Xk?10??P?Xk?1012/n??1?2[1?k?1k?1??n/12?1012/n21e?t/2dt]?0.95，1012/n?1.645，
??2?。 # ? n?443???n??1012/n12???e?t2/2dt]?0.90
? 12
43. （1）一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率
0.10。为了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。
（2）一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性为0.95。
解： 设每个部件损坏的概率P{Xk?0}?0.10，则每个部件未损坏的概率P{Xk?1}?0.90。
令?100??Xk?1100k，由此可知?100具有参数为n?100，p?0.90的二项分布， 故整个系统工作的概率为：
85?90?100?np100?905??np10??100?}?P{??100?100?} 3333np(1?p)np(1?p)12?e?t2(1) P{85??100?100}?P{??10/3/2?5/3dt?0.9995?0.0475?0.9520
(2) ?P{0.8n??n?n}?P{?0.8n?0.9n0.09n12?e??n?npnp(1?p)?100?n?0.9n0.09n12?}?P{?2?n?npnn??100?} 33np(1?p)?n/3?t2/2?n/3dt?1?2[1??n/3??e?t/2dt]?0.95
?n/312???e?t2/2dt?0.975?
n?1.96, ?n?35。 # 344. 某个单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话，假定
每个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。
解：设要m条外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。
已知：P{Xk?1}?0.05，P{Xk?0}?0.95
令?n??200k?1Xk, 则?n具有参数为n?200，p?0.05的二项分布。
?(m?10)/9.512?n?npm?10???10?P{0??n?m}?P???e?t/2dt ??10/9.5np(1?p)9.5?2???9.5?(m?10)/9.51?10/9.5122?e?t/2dt?e?t/2dt?0.90 ????2?2?????
(m?10)/9.512???e?t2/2dt???10/9.512???e?t2/2dt?0.90?0.0007?0.90?0.9007
m?109.5?1.32 ? m?14。 #
13