（2）P{X?3}?1?F(3)?0.04979 ??e?x, (3) f(x)?F?(x)????0,x?0。 # x?0
21. 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为??160，?的正态分布，若要求
P{120?X?200}?0.80,允许?最大为多少？
解： ?f(x)?1(x?160)22??2exp[?2?2] 200?P{120?x?200}?1?160)22??2exp[?2?2]dx120?(x40/?1y240/?2
?1?y?40?/?2?exp[??2]dy?2?????2?exp[2]dy?0.5???0.80?40/?即，
1??y22?exp[?40?2]dy?0.9, 查表可得： ??1.28
??max?31.25。 #
22．设随机变量X的概率质函数为 X ?2 ?1 0 1 3 pk 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y?X2的概率质函数。
解：由Y?X2可知：SY?{0,1,4,9}。故有
Y?X2 0 1 4 9 pk 1/5 7/30 1/5 11/30 23. 设X的概率密度为
?f(x)??2x??2,0?x??，求Y?sinX的概率密度。 ??0,其它解：?0?x??,0?y?sinx?1，故X???arcsinY?arcsinY。
??又?FY(y)?P{Y?sinX?y}?P{0?X?arcsiny}?P{??arcsiny?X??}
arcsiny??2x?0?2dx???arcsin?2xdx?22y??arcsiny， 0?y?1
?21?fy)?F?,0?y?1Y(Y?(y)???1?y2? 。 #
?0,其它 6
24. 设概率变量（X，Y）的概率密度为
?f(x,y)???x2?xy,0?x?1,0?y?2, ??0,3其它.求P{X?Y?1}。 解： P{X?Y?1}???f(x,y)dydx???10[?21?xf(x,y)dy]dx
??1[2(x21220?1?x?xy3)dy]dx??0(xy?x6y2)dx
1?x??1(5x3?4x2?1x)dx?51x4?4x3?1x26506322494?072。 # 25. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
fx)???1,0?x?1,??e?y,y??0,其它. f0,X(Y(y)???
?0,y?0.试求随机变量Z=X+Y的概率密度。
????f(x,y)dxdy,0?z?1,?1(0?x?z,0?y?z?x) y ? 解：?F??1z(z)????f(x,y)dxdy,z?1,?2(0?x?1,0?y?z?x) x+y=z>1 ???2 ??0,z?0, x+y=1 ??z ???z?x0??0e?ydy???dx?z?1?e?z,0?z?1,0 x ???
1 ??1?z?x0???0e?ydy??dx?1?e?z(e?1),z?1,?0,x+y<1 x=z, y=0. ?0,?z? ?1?e?z,0?z?1,?f?zz(z)?Fz?(z)??(e?1)e?,z?1,。 #
??0,z?0.26. 设概率变量（X，Y）的概率密度为
f(x,y)?1y22??2exp(?x2?2?2),???x???,???y???。
求Z?X2?Y2的概率密度。 解：?FZ(z)?y)dxdy?1?y2x2???f(x,y2?z2??2x2???exp(?x2y2?z2?2)dxdy
7
x2?y2?z是以原点为中心，z为半径的圆域。且z?0，故z?0时，FZ(z)?0。
令x?rcos?,FZ(z)?12??2y?rsin?，则
??02?????z0?exp(?)rdr?d??2?2??r2?z0r2zexp(?)d()??exp(?)?1?exp(?)222?22?22?0r2r2z
?fZ(z)?'FZz?1),z?0?2exp(?(z)??2?。 # 2?2?0,z?0?27. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N(160,202)分布，随机地选取4只，求其中没有一
只寿命小于180 小时的概率。
解： 设Xk为取出的第k只管子的寿命，故，
FXk(180)??1801202???exp(?(x?160)22?202)dx令y?(x?160)20?1??y2exp(?)dy?0.8413
22?1令N4?min(X1,X2,X3,X4)。因为{Xk}相互独立，且同分布，所以，
P{N4?180}?1?P{N4?180}?1?Fmin(180)?1?1?1?FXk(180)4?1?FXk(180)4?(0.1597)4。 ##
??????28. 设随机变量X的概率质函数为
X -2 0 2 pk 0.4 0.3 0.3 求E(X),E(X2),E(3X2?5)。
解：E(X)??2?0.4?0?0.3?2?0.3??0.2，
E(X2)?(?2)2?0.4?02?0.3?22?0.3?2.8， E(3X2?5)?3E(X2)?5?3?2.8?5?13.4。 #
29. 设X服从二项分布，其概率质函数为
?n?kn?kP?X?k????k??p(1?p),k?0,1,2,?,n.0?p?1. 求E(X)和D(X)。
??解：E(X)???k?0nnkP{X?k}???n?kn?k? k?p(1?p)?k?k?0??n?kk?0nn(n?1)(n?2)?[n?(k?1)]kp(1?p)n?kk!n(n?1)(n?2)?[(n?1)?(k?2)]k?1p(1?p)(n?1)?(k?1)
(k?1)!?np?k?0?np(p?1?p)n?1?npE(X2)?E[X(X?1)?X]?E[X(X?1)]?E(X)?n?kn?k?k(k?1)??np?k??p(1?p)??k?0n?
8
n?n(n?1)p2?(n?2)(n?3)?[(n?2)?(k?3)]pk?2(1?p)(n?2)?(k?2)?npk?0(k?2)! ?n(n?1)p2(p?1?p)n?2?np?n(n?1)p2?npD(X)?E(X2)??E(X)?2?n(n?1)p2?np?n2p2?np(1?p)。 #
30. 设X服从泊松分布，其概率质函数为
P?X?k???ke??k!,k?0,1,2,?,??0. 求E(X)和D(X)。
??解： E(X)??k?ke????e??k?0k!??k?1(k?1)!??e???e???，
k?1E(X2)?E[X(X?1)?X]?E[X(X?1)]?E(X)?2??k(k?1)?ke??2????k?2??
k?0k!????e?k?2(k?2)!????D(X)?E(X2)??E(X)?2??2????2??。 #
31. 设X服从均匀分布，其概率密度函数为
?f(x)??1?b?a,a?x?b, 求E(X)和D(X)。
??0，其它，
解： E(X)??ba?bb?adx?2， ax12D(X)?E(X2)??E(X)?2??bx21?b?ab?adx???a?b?a?2?2???12。 # 32. 设X服从正态分布，其概率密度函数为 f(x)?1??exp?????x-??2??，??0,???x???。 求E(X)和D(X)。 2?2?2?? 解： E(X)????1??x-??2?x????x2??exp???dx， 令?t，则?2?2???? E(X)?1??t2?1???t22?????(?t??)exp????2??dx??2????(?t??)exp?????2??dt?????2????exp?
?t2/2?dt??2?2???其中，f(t)?texp(?t2/2)为奇函数，故
?????texp(?t2/2)dt?0；
而
?????exp??t2/2?dt?2???0exp??t2/2?dty?t2/22???10y2?1exp??y?dy?2Γ(12)?2??(?)????0x??1exp??x?dx,?(12)??。 D(X)?1??2?????(x??)2exp???x-??2??? （令x???2?2??dx???t） 9
??22??????texp?t/2dt?2?2??2???te2???t2/2??????2?exp?t/2dt????2??????2?2???2。 #
33. 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4。将球独立地，随机地放入4只盒子中去。以X表示
其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第二号盒子是空的，第三只盒子至少有一只球），试求E[X]，D[X]。
解：因为3球独立放入4盒的总放法有43=64种。 按题意，
X=4时的放法有C33?1种，故P(X?4)?1/64；
X=3时，放入3#盒后，余下的球必放入4#盒。其的放法有
C13?C32?C33?3?3?1?7，故P(X?3)?7/64；
X=2时，放入2#盒后，余下的球必放入3#和4#盒。其的放法有
C13[C20?C12?C22]?C32[C10?C11]?C33 ?3[1?2?1]?3[1?1]?1?19种，故P(X?4)?19/64；
X=1时，放入1#盒后，余下的球必放入2#，3#和4#盒。其的放法有
C13[C20(C20?C12?C22)?C12(C20?C12)?C22]?C32[C10(C10?C11)?C11]?C33 ?3[(1?2?1)?2(1?1)?1]?3[(1?1)?1]?1?37种，故P(X?4)?37/64；
?E[X]??4iP(X?i)?37i?164?2?1964?3?712564?4?64?16。 ?E[X24]??i2P(X?i)?37197i?164?4?64?9?64?16?14864?16， ?D[X]?E[X2]?E2[X]?4825214316?162?162?0.5586。 #
34. 对于任意两个随机变量X，Y，证明下式成立：
（1） D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)； （2） Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)。
证： ? D(X?Y)?E??X?E(X)?Y??E(Y)?2??E??X?E(X)?2??Y?E(Y)?2?2?X?E(X)??Y?E(Y)??
?E??X?E(X)?2?E??Y?E(Y)?2??2E??X?E(X)??Y?E(Y)?? ?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)
? D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)；
? Cov(X,Y)?E??X?E(X)??Y?E(Y)???E?XY?E(X)Y?XE(Y)?E(X)E(X)?
?E(XY)?E(X)E(Y) ? Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)。 #
???e?x35. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)?,x?0。求（1）Y=2X，（2）Y?e?2x?的数学期望。
?0,x?0
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