高等数学练习题 第二章 导数与微分
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第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
一、填空题
1．设y?1?xe，则y?=
yeyy1?xe?ey2?y .
2. 设r?tan(??r)，则r?=?csc(??r) 。 3. 设ln222x?y?arctanyx,则y?=
x?yx?y 。
?x?etsintcost?sintdydy|?=4．设? ，则= ，tt?dxdxsint?costy?ecost3?3?2 。
二、选择题 1. 由方程siny?xey?0所确定的曲线y?y(x)在（0，0）点处的切线斜率为 [ A ]
12（A）?1 （B）1 （C）
（D）?12
2. 设由方程xy2?2所确定的隐函数为y?y(x)，则dy= [ A ] （A）?y2xdx （B）
12y2xdx （C）?yxdx （D）
dydxyxdx
3. 设由方程x?y?（A）
22?cosysiny?0所确定的隐函数为y?y(x)，则= [ A ]
22?cosx （B）
22?siny （C）
22?cosy （D）
4. 设由方程??x?a(t?sint)?y?a(1?cost)所确定的函数为y?y(x)，则在t??2处的导数为 [ B ]
12（A）?1 （B）1 （C）0 （D）?
2?dy?x?ln1?t? [ B ] 5.设由方程?所确定的函数为y?y(x)，则dx??y?arctant 29
（A）
1?t2t2 （B） （C）
t112t； （D）t.
三、求下列函数的导数
221．x3?y3?1?x?acos3t ?a3 ， 2. ?3?y?asint2
23x3?23?1y?13y??0 y??3asintcost3acost(?sint)22??tant
y???x?y3?13??()3
xy13．y?x2y3?yex?1?0 4. y?xsinx1?ex
解: lny?121lnx?12lnsinx??ex14ln(1?e)
x
1yy'?2x?cosx2sinx?4(1?e)12xx
xx y'?xsinx1?e(x?2cotx?e4(1?e))
?x?exsin??1?0四、求曲线? 在??0处的切线方程，法线方程 3?y???2??0解: dy?(3?x2?2)d?
x??ecos?d??0 dx?edx?sin ?dx?ecos?d?1?esin?xx, 从而
dydx?(3?2?2)(1?esin?)ecos?xx
30
当 ??0,x??1,y?0,
dydx??0?2e
12e 故 切线方程为 y?2e(x?1) 法线方程为 y??(x?1)
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第五节 函数的微分
一． 已知y?f(x)?x2?x，计算在x?2处
（1）当?x?0.1时，?y?f(2.1)?f(2)?0.31，dy?f?(2)dx=0.3
（2）当?x?0.001时, ?y?f(2.001)?f(2)?=0.003001, dy?f?(2)dx=0.003。 二．（1）函数y?arcsinf(x)?f(?12)?f?(21?x在x??12处的一次近似式为 ?23(x?12)
?12)(x??12)??3（2）函数y?e?xcos(x?1)在x?0处的一次近似式为f(x)?cos1?(cos1?sin1)x
4 3）计算近似值483? 3三．填空（求函数的微分）
83814?3(1?281)?3(1?24?81) 1、d(2?sin?)=(4?sin??2?cos?)d? 2、d(ln(cos222x))=?tanxdx
3、d(ln(1?x))=
2x?1ln(1?x)dx
24、d(lnsecx?tanx)=(tanx?secx)dx
1x5、d(f(arctan))=
11?()x12(?1x2)f'(arctan1x)dx
31
6、
d(sinx)d(cosx)?
cosdx?sinxdx??cotx
7、
d?sinx??= 2?dx?x?d8、(x?2x?x)? 1?4x?3x
36936dx3四．将适当的函数填入下列括号内,使等号成立。 将适当的函数填入下列括号内,使等号成立。 (1).
xdx?d(
233x2?c );
(2). sin(3x?2)dx?d(
?13cos(3x?2)+c (3). (3x2?2x)dx?d( x3?x2?c ); (4). e?2xdx?d( ?12x2e??c );
(5). 1
1xa2?x2dx?d( aarctana?c (6).
1d(
12x?3dx?2ln(2x?3)?c );
(7). x2d(x2)?d( ex2e?c ); （8）cos(2x)dx?d(
12sin2x?c )
(9). 11?x2 =d ( arcsinx?c ) ; (10). lnx( 1xdx?d2(lnx)2?c );
五．求下列函数或隐函数的微分
x22(1). a2?yb2?1, 求dy
解: 对方程两边求微分得
32
);
);
2xdxa2?22ydyb2?0
所以 dy??bxdxay2
(2).y?x?arctany，求dy 解: 对方程两边求微分得 dy?dx?dy1?y22
所以 dy?1?yy2dx
(3). y?xsinx，求dy 解: 由于 y?esinxlnx
sinx]dx x 所以 dy?x
sinx[coslnx?高等数学练习题 第二章 导数与微分
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第二章综合练习（一）
一、填空题
f(x?ha)?f(x?hha)1．设f?(x)存在，a?0为常数，则limh?0=
2af'(x)。
2．若抛物线y?x?bx?c在点（1，1）处的切线平行于直线y?x?1?0, 则b??1，c?1. 3.若f(x)可导，且y?f(e??x?f(t)y?ln(1?t)2??2?sin?)，则y?= (cos??edydx??)f'(e???sin?)
4.若 , 且?2t, 则
dydx22=2?2t .
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