5.若xy?ey?x?0，则dy??u21?yx?2ye?uy2dx.
6. 若y?ue二、选择题
则y(100)=(u?100)e .
1．若f(?x)=f(x)，且在（0，∞）内f?(x)>0，f??(x)< 0,则f(x)在（-∞，0）内 [ A ] （A）f?(x)< 0，f??(x)< 0
（B）f?(x)< 0，f??(x)> 0
（C）f?(x)>0，f??(x)< 0 （D）f?(x)>0，f??(x)> 0
2．设函数f(u)可导，y?f(x2)当自变量x在x??1处取得增量?x??0.1时，相应地函数增量?y的线性主部为0.1，则f?(1)? [ D ] （A） ?1 （B）0.1 （C）1 （D）0.5 3．设f(x)?(x?1)arcsinxx?1，则 [ C ]
?4（A）f?(1)?0 （B）f?(1)?1 （C）f?(1)?4．设y?lntanx2 （D）f?(1)不存在
?cosx?lntanx， 则y?= [ B ]
（A）cosxlntanx （B）sinxlntanx （C）sinxlncotx （D）tanxlntanx. 三、设函数y?y(x)由方程e?xy?e所确定，求y??(0). 解: 方程两边对x求导得:
ey'?y?xy'?0 y'??yyyx?ey
yy y''??y'(x?e)?y(1?ey')(x?e)yy2
?ye?2xey3y(x?e)
当x?0, 得 y?1. 所以 y''(0)?1e2
34
四、求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数
dydx及二阶导数
dydx22.
2??x?acos3??x?ln1?t1.? 2.? 3??y?asin??y?arctant1解:
?1?ttdx1?tdy2dt?dt1t 解:
dydx?3asin??cos?3acos?(?sin?)22??tan?
2dydx22?1ddxdx(dy)?1dt()dttdxd()dtt?dxdtd
dydx22?ddxdx(dy)?dd?(?tan?)d?dx
??1t2?1t1?t2??1?tt32 ??sec?21?3acos??sin?2
?五、设y?xe，用对数求导法求 解: 函数两边取对数得:
x13asec?csc?
4dydx
lny?elnx 两边对x求导得
x
1yy'?elnx?xexxe
x 所以
dydx?y(elnx?xxe)
x ?x
ex(elnx?xx)
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高等数学练习题 第二章 导数与微分
系 专业 班 姓名 学号
第二章综合练习（二）
一.填空题
1.设f?(x)存在，则 limh[f(x?h??1h)?f(x)]=f'(x) .
2．当a?12e时，两曲线y?ax2，y?lnx相切，切线方程是y?xe?12
3．若f(x)在（??，??）内有一阶连续导数且f(0)?0，当A?f'(0)时，
?f(x)?g(x)=?x??Ax?0x?0 在（??，??）内连续。
axbaxbab?aaxbaxb4．y=()?()?()，dy=()?()?()[ln?]dx
bxabxabx5．d( 2x?3?c ) =(2?3xln3)dx， d( f(lnx)?c) = f?(lnx)u?vxdxx .
6． 若 e?uv，则
dvdu=
eu?v?vu?vu?e，
dudv=
eu?v?uu?vv?e 。
二．选择题
1．设f(x)?x，则其导数为 [ C ]
xxxx?1（A）f?(x)?x （B）f?(x)?xlnx （C）f?(x)?x(lnx?1) （D）f?(x)?x
x2. f?(a)? [ C ]
(A)limf(x)?f(a)x?ax?a； (B).limf(a)?f(a??x)?x； )2 s?x?0(C).limf(t?a)?f(a)tf(a?s2)?f(a?st?0； (D).limS?03. 设y?f(cosx)?cos(f(x))，且f可导 则y?= [ C ] （A）f?(cosx)?sinx?sin(f(x))f?(x) （B）f?(cosx)?cos(f(x))?f(cosx)?[?sin(f(x))]
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（C）?f?(cosx)?sinx?cos(f(x))?f(cosx)?sin(f(x))?f?(x) （D）f?(cosx)?cos(f(x))?f(cosx)?sin(f(x))?f?(x) 4. 设f(x)具有任意阶导数，且f?(x)?[f(x)]2，当，f(n)(x)? [ A ]
(A)n![f(x)]n?1 (B) n?[f(x)]n?1 ( C) [f(x)]2n (D) n![f(x)]2n
1??xsin,5．设函数f(x)??x?0?x?0,x?0,则f(x)在x?0处 [ B ]
(A) 不连续 (B) 连续，但不可导。 (C)可导，但不连续。 (D)可导，且导数也连续。 三．计算题
1．设y?ax?1?a2xarccos?ax? （其中a?0，a?1为常数），试求dy． 解: dy?a
xlna?(1?a2x)'arccos(a)d?x1?a2x(arccosa)'dx
x?(alna?2xx?121?a2x?a2x?2lna?arccosa?x1?a2x??11?a2x?alna)dxx??2．已知 yalna2xarccosadxx
dydx1?axy?x，用对数求导法求 。
解: 方程两边取对数, 得: xlny?ylnx
上式两边对x求导, 得 lny?xlny?y'?y'lnx?yx
整理得 y'?4．已知y?ln(1?t1?t) , 求yy?xylnyx?xylnx(n)22
.
解: y?ln(1?t)?ln(1?t)
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y'?11?t?11?t?2
?2 y''??(1?t)?(1?t)
?3 y'''?2(1?t) y(4)?3?2(1?t)?4
?4??3!(1?t)?3!(1?t)
依此类推, 得
n?1ny(n)?(?1)n?1(n?1)!(1?t)?n?(n?1)!(1?t)?n?(n?1)![(?1)(1?t)?1(1?t)n]
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