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（I）证明：连接CO
QAE?EB?2,AB?2 ?VAEB为等腰直角三角形
QO为AB的中点
?EO?AB,EO?1……………………2分 又QAB?BC,?ABC?60 ?VACB是等边三角形
?CO?3，………………………………4分
又EC?2, ?EC2?EO2?CO2，即?EO?CO
?EO?平面ABCD……………………6分
（II）设点D到面AEC的距离为h QAE?2,AC?EC?2 ?SVAEC?o72…………8分
QSVADC?3,E到面ACB的距离EO?1
QVD?AEC?VE?ADC
?SVAEC?h?SVADC?EO ………………………………10分 ?h?2217
2217 ?点D到面AEC的距离为
9．在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC都是边长为2的等边三角形，AB＝2，O，D分别是AB，PB的中点．
(1)求证：OD∥平面PAC； (2)求证：PO⊥平面ABC； (3)求三棱锥P－ABC的体积． （1）?O,D分别为AB,PB的中点，∴OD∥PA
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又PA?平面PAC，OD?平面PAC
∴OD∥平面PAC．………………………4分 （2）如图，连结OC ?AC?CB?2，O为AB中点，AB?2,
∴OC⊥AB，OC?1．
同理, PO⊥AB，PO?1．………………6分 又PC??2222,∴PC?OC?PO?2,∴?POC?90．
∴PO⊥OC．?PO⊥OC,PO⊥AB，AB?OC?O,
?PO⊥平面ABC．…………………………………………………………………8分
（3）由（2）可知OP垂直平面ABC
∴OP为三棱锥P?ABC的高，且OP?1
1111VP?ABC?S?ABC?OP???2?1?1?．
332311如图所示,三棱柱ABC?A1B1C1中,AB?AC?AA1?2,平面ABC1?平面A1ACC1, 又?AA1C1??BAC1?60,AC1与A1C相交于点O.
(Ⅰ)求证:BO?平面A1ACC1;
(Ⅱ)求AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值; 【解】(Ⅰ)由题知AC?AA1?2,?AA1C1?60?,
所以?AA1C1为正三角形,所以AC1?2,………………1分 又因为AB?2,且?BAC1?60?
所以?BAC1为正三角形,………………………2分
又平行四边形A1ACC1的对角线相交于点O,所以O为AC1的中点, 所以BO?AC1…………………………3分
又平面ABC1?平面A1ACC1,且平面ABC1?平面A1ACC1?AC1,…………4分 且BO?平面BAC1………………………………5分 所以BO?平面A1ACC1…………………………6分
(Ⅱ)〖解法一〗连结A1B交AB1于E,取A1O中点F,连结EF,AF, 17
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则EF?BO,又BO?平面A1ACC1
所以EF?平面A1ACC1,EF?AF,……7分
所以直线AB1与平面A1ACC1所成角为?EAF.…………8分
而在等边?BAC1中,AB?2,所以BO?3,EF?同理可知,A1O?3,A1F?3232, , 74在?AA1F中,AF2?AA12?A1F2?2AA1?A1Fcos30??所以Rt?EFA中,AE?EF2………………10分
EFAE?3010?AF2?102,sin?EAF?3010.
所以AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值为.……………12分
〖解法二〗由于BB1?CC1,BB1?平面A1ACC1,所以BB1?平面A1ACC1,……7分 所以点B1到平面A1ACC1的距离即点B到平面A1ACC1的距离,
由BO?平面A1ACC1,所以B1到平面A1ACC1的距离即BO,…………………8分 也所以AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值为sin??BOAB1,…………………9分
而在等边?BAC1中,AB?2,所以BO?3, 同理可知,A1O?3?OC,所以BC?BO?OC22?6,B1C1?6………10分
又易证OC1?平面BA1C,所以OC?BC, 也所以OC?B1C1,AB1?所以sin??BOAB1?310?B1C1?AC1?30102210………………………11分
3010即AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值为.
12.如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角?ABC所在平面互相垂直，F为BC的中
点，?BAC??ACD?90?，AE∥CD，DC?AC?2AE?2.[ （Ⅰ）求证：平面BCD?平面ABC;来源 （Ⅱ）求证：AF∥平面BDE；
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（Ⅲ）求四面体B?CDE的体积.
解：（Ⅰ）∵面ABC?面ACDE，面ABC?面ACDE?AC，CD?AC,
∴DC?面ABC， ??????2分 又∵DC?面BCD，∴平面BCD?平面ABC. ????4分
（Ⅱ）取BD的中点P，连结EP、FP，则FP又∵EA1
12DC,
2∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，
DC，∴EAFP， ??????????6分
又∵EP?面BDE且AF?面BDE，∴AF∥面BDE. ??8分 （Ⅲ）∵BA?AC，面ABC?面ACDE=AC， ∴BA?面ACDE.
∴BA就是四面体B?CDE的高，且BA=2. ??????10分 ∵DC=AC=2AE=2，AE∥DC， ∴S梯形ACDE?12(1?2)?2?3,S?ACE?13?2?2?43.
12?1?2?1,
∴S?CDE?3?1?2, ∴VE?CDE?
13．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，
M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。
（Ⅰ）求该几何体的体积； （Ⅱ）求证：EM∥平面ABC；
∴AB?平面ACDE (Ⅰ)∵EA?平面ABC,∴EA?AB,又AB?AC,
………………6分
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∵M为BD的中点， ∴MG∥CD且MG＝ CD,于是MG∥AE,且MG＝AE,
2
所以四边形AGME为平行四边形,∴EM∥AG, ∴EM∥平面ABC.19. （本小题满分12分） 如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB?2,?BAD?60.(Ⅰ)求证：BD?平面PAC;
?
（Ⅱ）若PA?AB,求PB与AC所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.
证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD. 所以BD⊥平面PAC.
（Ⅱ）设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2, 所以BO=1，AO=CO=3. 如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则
P（0，—3，2），A（0，—3，0），B（1，0，0），C（0，3，0）. 所以PB?(1,3,?2),AC?(0,23,0).
cos?PB?AC|PB|?|AC|?622?23?64设PB与AC所成角为?，则
.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知BC?(?1,3,0).设P（0，－3，t）（t>0），则BP?(?1,?3,t) BC?m?0,BP?m?0设平面PBC的法向量m?(x,y,z),则
???x?3y?0,???x?3y?tz?0所以?令y?66m?(3,3,)t所以t .3,x?3,z?则
6n?(?3,3,)t 同理，平面PDC的法向量
?6?36t2?0因为平面PCB⊥平面PDC,所以m?n=0，即
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解得t?6所以PA=6