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解：(1)几何体的直观图如图．
四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝3，BC＝1，四边形AA1C1C是边长为3的正方形，且垂直
13
于底面BB1C1C，∴其体积V＝×1×3×3＝ 4分
22(2)证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC. ∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1. ∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1， ∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C.
∵四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1. ∵B1C1∩AC1＝C1，
∴A1C⊥平面AB1C1. 8分 (3)当E为棱AB的中点时，
DE∥平面AB1C1.
证明：如图，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE， ∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1. ∵AB1?平面AB1C1，EF?平面AB1C1， ∴EF∥平面AB1C1.
同理可得FD∥平面AB1C1，
又EF∩FD＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1.
而DE?平面DEF，∴DE∥平面AB1C1. 12分 30.如图，已知矩形ACEF的边CE与正方形ABCD所在平面垂直，AB?M是线段EF的中点。
2，AF?1，
(1)求异面直线CM与直线AB所成的角的大小； (2)求多面体EFABCD的表面积。
解：（1）因为CD//AB，所以?CMD即为异面直线CM与AB所成的角（或其补角），…………… 2分
连结MD，在?CEM中，CE?EM?1,所以CM?又DE?DF?3，所以DM?DF?MF222，
?2，所以?CDM是等边三角形，
…………… 5分
31
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所以?CMD?60?，即异面直线CM与AB所成的角为60?；…………… 6分
1222（2）S?ABF?S?DEF?12?2?1?,…………… 8分
?2?2?2…………… 10分
SABCD?2
S表?4S?ABF?2S?DEF?SABCD?42?2。
31.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。 （1）求证：CE⊥平面PAD；
（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积
【解析】(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE?平面ABCD,所以PA⊥CE, 因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PA?AD=A,所以CE⊥平面PAD.
(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD?cos45??1,CE=CD?sin45??1. 又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以
SABCD?SABCE?S?BCD=AB?AE?12CE?DE=1?2?12?1?1?52,又PA⊥平面
ABCD,PA=1,
所以四棱锥P-ABCD的体积等于SABCD?PA?3113?52?1?56
32.如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB
折叠使得二面角P-AB-D为60的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图（图2）的一个几何体． （1）求证：平面PAB?平面PCD； （2）求PE与平面PBC所成角的正弦值．
32
?PPAD AEC DBCB[键入文字]
解：（1）证明：?AB?PA,AB?AD，又二面角P-AB-D为60? ??PAD?60?，又AD=2PA ?AP?PD
有平面图形易知：AB?平面APD，又PD?平面APD，?AB?PD，
?AP,AB?平面ABP，且AP?AB?A
?PD?平面PAB，又PD?平面PCD，?平面PAB?平面PCD---------7
分
（2）设E到平面PBC的距离为h，?AE//平面PBC 所以A 到平面PBC的距离亦为h 连结AC，则VP?ABC?VA?PBC，设PA=2 ?13?12?2?2?3=
13?12?2?7?h
PAD ?h?
2217，设PE与平面PBC所成角为?
EC23?sin??B?277hPE?73---------------14分
33.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?BAC?90°,AC?AB?AA1,中点.
（Ⅰ）求异面直线AE与A1C所成的角；
（Ⅱ）若G为C1C上一点，且EG?A1C，求二面角A1?AG?E的大小.
解法一：
（Ⅰ）∴异面直线?333
是BC的
AE与
A1C所成的角为
. ……………………………6分
[键入文字]
（Ⅱ） ∴所求二面角A1?AG?E为??arctan5.
34.如图，在四棱锥P?ABCD中，PD?平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC?6，
BD?63，E是PB上任意一点。 （1）求证：AC?DE；
（2）当?AEC面积的最小值是9时，在线段BC上是否存在点G，使EG与平面PAB所
成角的正切值为2？若存在？求出BG的值，若不存在，请说明理由
解：（1）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F。 因为四边形ABCD是菱形，所以AC?BD。 又因为PD?平面ABCD，AC?平面PDB
E为PB上任意一点，DE?平面PBD，所以AC?DE--------------7分
（2）连ED．由（I），知AC?平面PDB，EF?平面PBD，所以AC?EF．
S?ACE?12AC?EF,在?ACE面积最小时，EF最小，则EF?PB． 12?6?EF?9，解得EF?3--------------10分
S?ACE?9,
由PB?EF且PB?AC得PB?平面AEC,则PB?EC，
又由 EF?AF?FC?3得EC?AE，而PB?AE?E，故EC?平面PAB
作GH//CE交PB于点G，则GH?平面PAB,所以?GEH就是EG与平面PAB所成
角. 在直角三角形CEB中，BC?6,EC?32,EB?32 ?所以?CEB?45，设BG?x，则BH?HG?22x。
由tan?GEH?2得EH?24x。
由EH?HB?EB得x?4，即BG?4 35.如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩
形，PA=AB=1，AD?3,点F是PB的中点，点E在边BC 上移动。
⑴求三棱锥E-PAD的体积；
34
[键入文字]
⑵当E点为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的 位置关系，并说明理由；
⑶证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF。
解： （1）因为点E到平面PAD的距离即为1，所以VE?PAD?113 ??1?3?1?326····················4分
(2)直线EF与平面PAC平行
因为E、F两点分别为边PB和BC的中点，所以EF//PC，且直线EF不在平面PAC内，
直线PC在平面PAC内，所以，直线EF//面PAC
····················8分
(3)因为PA=AB且F为PB中点，所以AF⊥PB,又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC,由于
地面ABCD为矩形，所以BC⊥AB,所以BC⊥面PAB,所以BC⊥AF,所以AF⊥面PBC,所以
无论点E在BC上何处时，总有AF⊥PE。
36. 如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAD上平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，
已知BD =2AD =8，AB =2DC =45。
证明：
（Ⅰ）在△ABD中，由于AD?4，BD?8，AB?45，
所以AD2?BD2?AB2．故AD?BD．……………………………………………2分 又平面PAD?平面ABCD，平面PAD?平面ABCD?AD，BD?平面ABCD， 所以BD?平面PAD. …………………………………………………………………4分 又BD?平面MBD，故平面MBD?平面
PAD．…………………………………6分
（I）设M是PC上的一点，证明：平面MBD?平面PAD； （Ⅱ）求三棱锥C—PAB的体积
P （Ⅱ）过P作PO?AD交AD于O， 由于平面PAD?平面ABCD，[来源:Z#xx#k.Com]
35
A O D M
C [键入文字]
所以PO?平面ABCD．
因此PO为棱锥P－ABC的高.………………8分
又△PAD是边长为4的等边三角形．[来源:Zxxk.Com] 因此PO?32?4?23．
12又S?ABC?S?ABD?AD?BD?16，………10分
?V棱锥C-PAB?V棱锥P-ABC?13?16?23?3233.
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