第三章 控制系统的时域分析
系统的数学模型建立后，便可对系统进行分析和校正。分析和校正是自动控制原理课程的两大任务。系统分析是由已知的系统模型确定系统的性能指标；校正是根据需要在系统中加入一些机构和装置并确定相应的参数，用以改善系统性能，使其满足所要求的性能指标。系统分析的目的在于“认识”系统，系统校正的目的在于“改造”系统。系统的分析校正方法一般有时域法、根轨迹法和频域法，本章介绍时域法。
时域法是一种直接在时间域中对系统进行分析校正的方法，具有直观，准确的优点，它可以提供系统时间响应的全部信息，但在研究系统参数改变引起系统性能指标变化的趋势这一类问题，以及对系统进行校正设计时，时域法不是非常方便。
时域法是最基本的分析方法，该方法引出的概念、方法和结论是以后学习复域法、频域法等其他方法的基础。
3.1线性系统的稳定性分析
稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。 3.1.1 稳定性的概念
如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则，系统不稳定。 3.1.2 稳定的充要条件
脉冲信号可看作一种典型的扰动信号。根据系统稳定的定义，若系统脉冲响应收敛，即:
limg(t)?0
t??则系统是稳定的。设系统闭环传递函数为
G(s)?M(s)bm(s?z1)(s?z2)?(s?zm)? D(s)an(s??1)(s??2)?(s??n)设闭环极点为互不相同的单根，则脉冲响应的拉氏变换为:
nAnAA1A2??????i C(s)?G(s)?s??1s??2s??ni?1s??i式中，Ai为待定常数。对上式进行拉氏反变换，得单位脉冲响应函数：
1
k(t)?Ae?A2e1根据稳定性定义，系统稳定时应有：
?it?2t???Ane?nt?it??Ae ii?1ng(t)?lim limt??t???Ae?ii?1init?0 （3-21）
考虑到系数Ai的任意性，要使上式成立，只能有
?tlime?0 i?1,2,?,n （3-22）
t??式(3-22)表明，所有特征根均具有负的实部是系统稳定的必要条件。另一方面，如果系统的所有特征根均具有负的实部，则式(3-21)一定成立。所以，系统稳定的充分必要条件是系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部，或者说所有闭环特征根均位于左半s平面。
如果特征方程有m重根，则相应模态：
e?0t,te?0t,t2e?0t,?,tm?1e?0t
当时间t趋于无穷时是否收敛到零，仍然取决于重特征根?0是否具有负的实部。
当系统有纯虚根时，系统处于临界稳定状态，脉冲响应呈现等幅振荡。由于系统参数的变化以及扰动是不可避免的，实际上等幅振荡不可能永远维持下去，系统很可能会由于某些因素而导致不稳定。另外，从工程实践的角度来看，这类系统也不能正常工作，因此经典控制理论中将临界稳定系统划归到不稳定系统之列。
线性系统的稳定性是其自身的属性，只取决于系统自身的结构、参数，与初始条件及外作用无关。
系统稳定的充分必要条件是：系统闭环特征方程式的根全部具有负实部，否则系统是不稳定的。还可以进一步表明：
1）如果系统传递函数的全部极点都位于[s]平面的左半平面，则系统是稳定的； 2）若有一个或者一个以上的极点位于[s]平面的右半平面，则系统是不稳定的； 3) 若有部分极点位于虚轴上，而其余极点位于[s]平面的左半平面，则系统为临界稳定，系统趋于等幅谐波振荡。
线性定常系统如果稳定，则它一定是大范围稳定的，且原点是其惟一的平衡点。 用MATLAB语言的多项式求根指令roots可以由特征方程系数方便地解出全部特征根，进而可以判断系统是否稳定。
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3.1.3 劳斯稳定判据
劳斯于1877年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。当把这个判据用于判断系统的稳定性时，又称为代数稳定判据。劳斯判据就是基于特征方程式根与系数的关系，通过对系统特征方程式各项系数进行代数运算，得出全部根具有负实部的条件，从而判断系统的稳定性。
设系统特征方程为：
D(s)?ansn?an?1sn?1???a1s?a0?0 an?0 （3-23） 变化后可得：
因式分解可得：
其中：
1．判定稳定的必要条件
要使全部特征根都具有负实部，必须满足两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。2）特征方程各项系数的符号都相同。因此可得出系统稳定的必要条件是特征方程式各项系数均大于零，即：
ai?0 (i?0,1,2,?,n?1) （3-24）
满足必要条件的一、二阶系统一定稳定，满足必要条件的高阶系统未必稳定，因此高阶系统的稳定性还需要用劳斯判据来判断。
2．劳斯判据
劳斯判据为表格形式，称为劳斯表。表中前两行由特征方程的系数直接构成，其他各
3
行的数值按表3-8所示逐行计算。
表3-8 劳斯表
snsn?1 anan?1 an?2 an?4 ? an?3A2?an?5 ? sn?2 aa?anan?3 A1?n?1n?2an?1an?1an?4?anan?5an?1A3 ? sn?3? B1?A1an?3?an?1A2A1 B2?A1an?5?an?1A3A1 ? B3 ? ? ? ? s0a0 劳斯判据指出：系统稳定的充要条件是劳斯表中第一列系数都大于零，否则系统不稳定，而且第一列系数符号改变的次数就是系统特征方程中正实部根的个数(位于右半S平面特征方程根的个数)。
例3-9 设系统特征方程为D(s)?s4?2s3?3s2?4s?5?0，试判定系统的稳定性。
劳斯表第一列系数符号改变了两次，所以系统有两个根在右半s平面，系统不稳定。 3．劳斯判据特殊情况的处理
⑴某行第一列元素为零而该行元素不全为零时 — 用一个很小的正数?代替第一列的零元素参与计算，表格计算完成后再令??0。
例3-10 已知系统特征方程D(s)?s3?3s?2?0，判定系统右半s平面中的极点个数。
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解 D(s)的系数不满足稳定的必要条件，系统必然不稳定。列劳斯表为：
s1
s3 s2
?3??1?21 0
??cc1???
-3 2 0 0
>>例3-10题程序及结果 roots([1 0 -3 2]) -2.0000 1.0000 1.0000 s
02c1???0?2 c1劳斯表第一列系数符号改变了两次，所以系统有两个根在右半s平面。
⑵某行元素全部为零时 —利用上一行元素构成辅助方程，对辅助方程求导得到新的方程，用新方程的系数代替该行的零元素继续计算。当特征多项式包含形如(s??)(s??)或
(s?j?)(s?j?)的因子时，劳斯表会出现全零行，而此时辅助方程的根就是特征方程根的
一部分。
例3-11 已知系统特征方程D(s)?s5?3s4?12s3?20s2?35s?25?0，判定系统是否稳定性。
解 列劳斯表
s0 s
1s5 s4
1 3
12 20
35 25
>>例3-11题程序及结果 D=[1 3 12 20 35 25]; roots(D) 0.0000 + 2.2361i 0.0000 - 2.2361i -1.0000 + 2.0000i -1.0000 - 2.0000i -1.0000 s3 163 803 0
辅助方程：
F(s)?5s2?25?0
s
2 5 0 10 25
25 0 0
0
F?(s)?10s?0
0
劳斯表第一列系数符号没有改变，所以系统没有在右半s平面的根，系统临界稳定。求解辅助方程可以得到系统的一对纯虚根?1,2??j5。
4．劳斯判据的应用
劳斯判据除了可以用来判定系统的稳定性外，还可以确定使系统稳定的参数范围。
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