例3-4 角速度随动系统结构图如图3-9所示。图中，K为开环增益，T?0.1s为伺服电动机时间常数。若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间ts?1s，问K应取多大？
解 根据题意，考虑使系统的调节时间尽量短， 应取阻尼比??1。由图3-9，令闭环特征方程 s2?1K121s??(s?)2?s2?s?2?0 TTT1T1T1?T1?2T?2?0.1?0.2比较系数得 ? 22K?TT?0.10.2?2.51? 查图3-7，可得系统调节时间:
ts?4.75T1?0.95s，满足系统要求。
3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 1．欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法
欠阻尼二阶系统的极点可以用如图3-10所示的两种形式表示。 （1）直角坐标表示
?1,2???j?d????n?j1??2?n （3-8） （2）“极”坐标表示
????n?cos??? ??2 （3-9） sin??1????????2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
由式（3-5），可得系统单位阶跃响应的 拉氏变换为
2s?2??n?n11C(s)??(s)R(s)?2?? 22ss(s???n)2?(1??2)?ns?2??ns??n 1??2?ns???n1? ?? ??2222222s(s???n)?(1??)?n1??(s???n)?(1??)?n 系统单位阶跃响应为:
h(t)?1?e???ntcos1??2?nt????1??2e???ntsin1??2?nt?
??16
1?e???nt1??2?1??2cos1??2?nt??sin1??2?nt??????
?1??22 1?sin?1???nt?arctan2??1???e???nt 系统单位脉冲响应为:
?? （3-10） ??2?1???n?n?1?1? k(t)?h?(t)?L??(s)??L?22(s???n)2?(1??2)?n?1????? ?? ??n1??2e???ntsin1??2?nt （3-11）
典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应如图3-11所示。响应曲线位于两条包络线
1?e???tn1??2之间，如图3-12所示。包络线收敛速率取决于??n（特征根实部之模），
响应的阻尼振荡频率取决于1??2?n（特征根虚部）。响应的初始值h(0)?0，初始斜率
h?(0)?0，终值h(?)?1。
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3. 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
（1）峰值时间tp：令h?(t)?k(t)?0，利用式（3-11）可得 sin1??2?nt?0 即有 1??2?nt?0,?,2?,3?,? 由图3-1，并根据峰值时间定义，可得
tp??1???n2 （3-12）
（2）超调量?00：将式（3-12）代入式（3-10）整理后可得
??? h(tp)?1?e1??2
1??2?％?h(tp)?h(?)h(?)?100％?e????100％ （3-13）
可见，典型欠阻尼二阶系统的超调量?00只与阻尼比?有关，两者的关系如图3-13所示。 图3-13 欠阻尼二阶系统?%与?的关系曲线
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（3）调节时间ts：用定义求解系统的调节时间比较麻烦，为简便计，通常按阶跃响应的包络线进入5％误差带的时间计算调节时间。令
1?可解得
e???tn1??2?1?e???tn1??2?0.05
1ln0.05?ln(1??2)3.52ts?????n??n
（0.3???0.8 ） （3-14）
式（3-12）~（3-14）给出典型欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式。可见，典型欠阻尼二阶系统超调量?00只取决于阻尼比?，而调节时间ts则与阻尼比?和自然频率?n均有关。按式（3-14）计算得出的调节时间ts偏于保守。??n一定时，调节时间ts实际上随阻尼比?还有所变化。图3-14给出当T?1?n时，调节时间ts与阻尼比?之间的关系曲线。可看出，当??0.707（??45?）时，ts?2T，实际调节时间最短，?00?4.3200?5％，超调量又不大，所以一般称??0.707为“最佳阻尼比”。
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4．典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参数及极点分布之间的关系
根据式（3-13）、式（3-14）及式（3-8）、式（3-9），可以进一步讨论系统动态性能、系统参数及闭环极点分布间的规律性。
当?n固定，?增加（?减小）时，系统极点在s平面按图3-15中圆弧轨迹（I）移动，对应系统超调量?％减小；同时由于极点远离虚轴，??n增加，调节时间ts减小。图3-16(a)给出?n=1，?改变时的系统单位阶跃响应过程。
当?固定，?n增加时，系统极点在s平面按图3-15中的射线轨迹（II）移动，对应系统超调量?％不变；由于极点远离虚轴，??n增加，调节时间ts减小。图3-16(b)给出了
?=0.5(??60?)，?n变化时的系统单位阶跃响应过程。
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