2、反映法的基本原则
不渗透边界是同号等产量反映，反映后不渗透边界 保持为分流线；
供给边界是等产量异号反映，反映后供给边界必须 保持为等势线。
三、镜像反映法的推广
（一）复杂断层的镜像反映法
镜像反映法的目的是取消边界，其基本准则是反映后原渗流边界性质不变。对复杂边界，要求：
对井有影响的边界都必须进行映射；
对其中一个边界映射时必须把井和其他边界一同映射到边界的另一侧； 有时需要多次映射才能取消边界。
??
+q +q +q +q +q +q +q +q 直角断层 +q 平行断层 -q +q +q +q +q 45度断层 （二）圆形供给边界偏心井的反映
1、物理模型：圆形供给边界一口偏心井
2、镜像反映：无限大地层一源一汇的平面渗流场中，等势线为一系列与井点相差一定距离的圆。如选取一等势圆为供给边缘，其半径为Re，圆心与井点距离为d，此时生产井就为供给边缘内一口偏心井。选择合适的等注入量虚拟注入井位置，两井叠加的结果即可保
-q 混合边界 +q
Фe-qO2Rer2M+qr1M1ФwO1OdaxM2a 16
R?dR?d?2a?(R?d)2a?R?dR?d2a?d持半径为Re的圆周为等势圆。 3、确定虚拟井像的位置
无限地层一源一汇时r1/r2相等的点势相等，则半径为Re的圆周上的M1和M2点应满足下式： ФeRe11 M1M2M 22r2-q+qr1 xO2 M2M1ФwO1Oeed eeaa 22 e r1q??ln?C4、偏心井产量
2?r2 2?kh(pe?pw)22Q? 22eR?d ew?lneewReRw
r()rr?()rR?dq????ln2?R?R5、地层中任意点势分布 2
e1 2eew22e
ee1
7、圆形地层两口等产量偏心井 ew转化为无限地层两源两汇问题
第八节 复势理论在平面渗流问题中的应用
Wi(x,y)y)对复数 z ? x，其复变函数可表示为 (z) ? (x, ? 。若 在区域W(z)D?iy内连续可微，其实部 和虚部 ? (x, 有连续偏导数存在，且满足柯西-黎曼条件： ?(x,y)y)????????
?,??则称复变函数 Laplace方程，称为共轭W? x为解析函数。解析函数的实部和虚部分别满足?(z)y?y?x调和函数，其所代表的曲线族正交。 表征渗流场的势函数和流函数也具有共轭调和性质，则用势函数为实部、流函数为虚部构成的复数为解析函数，称该复数为渗流场的复势，通过对复变函数的研究可求解较复杂的渗
d?rq????ln2?Rrd?rlnRr????(???)R?dlnRR?? 17
流问题。
1、势函数和流函数
单相液体平面径向稳定渗流时，渗流速度为： ??k?pvx?? v??x?x??x ?? k?pvy???y vy??yx?2??2???y? ?2?02?x?yv ?在无源区域内，因 div 0 则 渗流场中渗流速度为矢量，渗流场为有势场，则φ 称势函数或速度势。 又势函数满足Laplace方程。 ? ( x , C C1为一常数，表示一条等势线。 y ) ?1设在渗流场中有流线S，其中一点M处（x,y）的切线方向，为该点流体质点运动方向。 设M点渗流速度为v，则在x、y方向的分速度为vx、vy。
在M点沿流线S取一微小增量dS，则在x、y方向的增量为dx、dy，由相似关系有： yxxy ——为流线方程。 ?因无源渗流场中， 即
yyyxx
xvdx?vdy?0x y是某一函数的全微分，并用dΨ 表示： ???? d??dx?dy?vydx?vxdy?x?y ?P?Q?为全微分的充要条件是 ?y?x全微分函数 xy
0x0y0
积分有：
yxL
则Ψ称为流函数， Ψ为常数时表示流线方程，给定不同的常数可得不同的流线。 渗流速度与流函数关系：
22 ?? vx??y?yx 22?? ?v?v??0?x?ydxdy?vvvdx?vdy?0divv?0y v S ?v?v??0?x?y?v?v???x?yv ds M dx v dy x Pdx?Qdy?0u(x,y)??P(x,y)dx??Q(x,y)dy???vdx?vdyvy??x?v?v??y?x??????0?x?y 18
由复变函数理论知，满足Laplace方程的函数称调和函数，因此在平面渗流场中，势函数φ（x，y）和流函数Ψ（x，y）都为调和函数，且与渗流速度的关系为： ????（9）式为柯西-黎曼vx ?????x?y（Chuchy-Rieman）条件。 ????vy ????y?x
2、平面渗流场的复势
如复变函数w（z）在某一区域内解析，其实部和虚部存在二阶偏导数，并满足Laplace方
程，即实部和虚部为共轭调和函数。
又已知渗流场的势函数和流函数为共轭调和函数，则用势函数为实部、流函数为虚部构成的复数为解析函数，且称该复数为渗流场的复势，表示为： dw???? ????????dw?d??id??(dx?dy)?i(dx?dy)???i??vx?ivy?v ?x?y?x?ydz?x?y?? ???(dx?idy)?(dy?idx) ?x?y ?????(?)(dx?idy) i?x?y 二、复势叠加原理
1、平面上点源和点汇的复势
生产井在坐标原点时，其势函数和流函数为： 12
点源的复势为：
q
w(z)?lnz?Cw(z) ???i? 2?q q ?lnr?C1?i(??C2)（1）式中，w（z）—距汇点任意处的复势； 2? 2 ? z—复平面上任意点；
q i ? ? ln re ? C r—复变量z的模；θ —复变量z的幅角。 2? i? 井点为点源时，复势为： qw(z)??lnz?C w(z)??(x,y)?i?(x,y)dwv?dzq??lnr?c2?q????C2?z?x?iy?r(cos??isin?)?re2? 19
如井点在任意点A=a+ib，其复势为：
q ??lnrA?C1q势函数流函数为： w(z)?ln(z?A)?C2?2? q ?qlnrei?A?C???A?C2A2? 2?2、复势叠加原理
若在渗流场中同时存在两个势流，其复势分别为：
2221 11因势函数和流函数是共轭调和函数，是齐次线性方程，满足叠加原理条件，即两个复势可合成一个新复势，新复势的势函数和流函数仍满足Laplace方程。 z ) ? W 且 2222W(1(z)?W2(z) ???1 ? 1 i? ? 2 ? i ? 2 2 222 ???i(???)??1212 ?? ?i? 则同一渗流场中存在多个点源汇时，只需把各个点源汇单独存在时的复势进行简单 的代数相加，即可得多井同时存在时的复势，称平面渗流场的复势叠加原理。
如平面上有n个点源汇，分别位于A1、A2….An,则任意点复势为： nqjnq则势函数为： j??(?lnrj)?C1W(z) ?[?ln(z?Aj)]?C2 j?1j?12? nnqji?jj 流函数为： ?[?ln(rje)]?Cj2 2?j?1j?1 第九节 平面渗流问题的保角变换求解法 一、保角变换的概念
1、z平面到ζ 平面上的变换
在复平面上复变数z=x+iy，引入新的复变数ζ =ξ +iη ， ζ与z之间有关系z=z（ζ）或ζ= ζ（z），则
W(z)??(x,y)?i?(x,y)W(z)??(x,y)?i?(x,y)??????????0??0?x?y?x?y???????(?q2??)?C或
???(z)?z?(x?iy)?x?y?2ixy
20
即
式确定了平面z上的点与ζ上点的对应关系，ζ=ζ（z）是单值或多值，则z平面上对应ζ平面上一点或几点。如：
则
?x2?y2,?2xy2222
z?z(?)?z(??i?)?x(?,?)?iy(?,?)???(z)??(x?iy)??(x,y)?i?(x,y)???(x,y)x?x(?,?)y?y(?,?)???(x,y)??