式中：ρ介质单位体积的质量，[b]作用于单位质量上的体力，d[v]/dt是速度对时间的偏导数。这些定理控制了介质单元体在力的作用下运动状态。当介质处于静力平衡时，加速度d[v]/dt为0，由上式得平衡状态下的偏微分方程：
?ij,j??bi?0 （6）
1.1.5 边界条件及初始条件
边界条件包括施加于边界上的牵引力和（或）速度（由位移而产生的）。另外，还应考虑体力和初始应力状态。 1.1.5 本构方程
运动方程式（5）和应变速率的定义式（2）共有9个方程和15个未知量，这15未知量包括6个应力速率分量、6个应变速率分量及3个速度矢量分量。考虑特定的材料性质，有另外6个相联系的
本构方程，通常用下式表示：
?[?]ij?Hij??ij,?ij,k? （7）
式中：[?]ij为共转（co-rotational）应力速率张量，[H]为一给定的函数，k是与加载路径有关的参数。共转（co-rotational）应力速率张量，等于给定参考系的介质内一点的应力的偏导数和以瞬时角速度?的转动，数学表达式如下：
?d?ij?[?]ij??wij?ij??ijwkj （8）
dt式中，d[?]dt是应力[?]对时间的偏导数，[w]为转动速率张量。
1.2 数学模拟
FLAC3D有以下三种逼近方法：
（1） 有限差分法。假定在变量在空间和时间内线性变化，
用变量对空间和时间的一阶导数来近似等于它的有限差分值。
（2） 离散单元法。将连续介质离散为等效块体集合体，所
有的力（施加的作用力与相互作用力）作用在三维网格的节点上。
（3） 动力学解法。运用运动方程求解所研究系统达到平衡
状态时的参量。
利用以上逼近方法，连续介质的运动定律可变为节点上的牛顿定律的离散形式。从而可通过显式有限差分法来求解一般的差分方
程。等价介质空间偏导数在由速度定义的应变速率用到。因此，为了定义速度变量和相应的空间间距，介质需离散为常应变速率四面体单元，它的顶点即为网格的节点（图1）。
图1 四面体单元的面和节点
1.2.1 空间微分与有限差分的近似
作为基础，下面由节点运动方程推导四面体的应变速率张量各分量的有限差分公式。四面体的节点1到4，面n指与节点n相对的面（见图1）。
由四面体高斯离散理论，可知：
?vVi,jdV??vinjdS （9）
S上式，左边和右边分别为对四面体体积和面积积分，[n]为面的单位外法矢量。
对常应变速率四面体，速度场是线性变化的，而每一个面的外法矢量[n]也为一常值。因此，式（9）积分后有：