七、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形 1．（天津）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′ 和折痕OP．设BP＝t． （Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′ 上，得点C′ 和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′ 恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
y y
P C C B P B
B′ Q B′
C′
O A O A x
图② 图①
2．（天津模拟）如图，在梯形ABCO中，A（0，2），B（4，2），点C为x轴正半轴上一动点，M为线段BC中点． （1）设C（x，0），S△AOM＝y，求y与x的函数关系式；
（2）如果以线段AO为直径的⊙D和以BC为直径的⊙M外切，求点C的坐标；
（2）连接OB交线段AM于N，如果以A、N、B为顶点的三角形与△OMC相似，求直线CN的解析式．
y A B
M D
x O C 3．（上海模拟）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是AB边上一点（与A、B不重合），EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH＝∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N． （1）如图1，当点H与点F重合时，求BE的长；
（2）如图2，当点H在线段FD上时，设BE＝x，DN＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）连接AC，当△FHE与△AEC相似时，求线段DN的长．
x
A (H) F
E B
A F H E B A F
E B
N D
图1
C N D
图2
C
D 备用图
C
4．（上海模拟）已知在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝2DE，CE＝2BE，∠ADE＝∠ECD，DE＝CE＝4．
（1）如图1，求证：DE∥CB；
（2）如图2，点F是线段EB上一动点（不与E重合），连接CF并延长交DE的延长线于点G，设EF＝x，DG＝y，求y与x的函数关系式； （3）点P在线段AE上一动点（不与E重合），连接CP交DE于点Q，当△PQE是等腰三角形时，求AP的长．
D C D C A E B A E F B
G
图1 图2
D C 如需要答案，可联系手机：13956226259 或 电子信箱：gshbao@sina.com 或QQ：529115098 A E B 备用图 5．（上海模拟）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝3，DC＝6，BC＝5．点E是边DC上任意一点，点F在边AB的延长线上，且AE＝AF，连接EF，与边BC相交于点G．
（1）设BF＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围； （2）当四边形BECF是平行四边形时，求BF的长；
（3）当点E在边DC上移动时，△BFG能否成为等腰三角形？如果能，求BF的长；如果不能，请说明理由． A B F A B
G D C D C E
备用图
6．（上海模拟）有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝5，把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN（MN交AB于M，交AD于N）． （1）如图1，当BE＝2时，求AM的长；
（2）当点E在BC上运动时，设BE＝x，AN＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（4）连接DE，是否存在这样的点E，使△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长，若不存在，请说明理由．
A N D A D A M B E C B C B 7．（上海模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD的两侧作正方形BEFG和正方形DMNK备用图，
图1 备用图
恰好使得N、A、F三点在一直线上，连接MF交线段AD于点P，连接NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y．
N K
（1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当△NPF的面积为32时，求x的值； A B （3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切？如果能，请求出x的值，如果不能，请说明理G 由． P C D M 8．（上海模拟）已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF＝45°，连接EF．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
（2）设BE＝x，DF＝y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动．试判断以E为圆心，以BE为半径的⊙E和以F为圆心，以FD为半径的⊙F之间的位置关系；
（4）如图2，当点E在BC的延长线上时，设AE与CD交于点G．问：△EGF与△EFA能否相似？若能相似，求出BE的长，若不可能相似，请说明理由．
F
D C
E F
A D A D
G F B E C B C E
图1 图2
9．（上海模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝2，AD＝1，连接BD，作∠EBC＝∠ABD，交边CD于E．
A D
（1）设BC＝x，CE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
E
（2）当BE⊥CD时，求BC的长；
（3）当△BDE是等腰三角形时，求BC的长． 10．（重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，BC＝6，AB＝3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长； （2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM．是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
A D A D B C B
备用图
C
11．（浙江金华、丽水）如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝3，AB＝6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠
E B A DEF＝120°．
（1）当点E是AB的中点时，求线段DF的长； （2）若射线EF经过点C，求AE的长； D F C （3）设AE＝x，CF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 12．（浙江嘉兴、舟山）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，∠BAB′＝θ，n]．
（1）如图①，对△ABC作变换[60°，3]得△AB′C′，则S△AB′C′ :S△ABC＝_________；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为_________度； （2）如图②，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB′C′为矩形，求θ和n的值； （3）如图③，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值．
AB′B′C′AC′
＝＝＝n，我们将这种变换记为[θ，ABBCAC
A
A A C′
C′ B C′
C
B C
B′ B C B′ B′
（图①） （图②） （图③） 13．（浙江某校自主招生）如图，矩形ABOD中，AB＝6，AD＝8，M是边AD上的点，且AM :MD＝1 :3．点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线OD于点F，过M作EF的垂线交射线BO于点G，连接EG、FG．
y （1）设AE＝t时，△EFG的面积为S，求S关于t的函数关系式，
F 并写出自变量t的取值范围；
（2）若P是MG的中点，在E点运动的整个过程中，点P到x轴的距离是否为定值？请说明理由；
（3）请直接写出E点运动的整个过程中点P的运动路线的长．
D A M
P E 14．（浙江模拟）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点
B O G A、C的坐标分别为A（5，0），C（0，3）．射线y＝kx交折线A－B
－C于点P，点A关于OP的对称点为A′．
（1）当点A′ 恰好在CB边上时，求CA′的长及k的值；
（2）若经过O、A、A′三点的抛物线恰好以A′为顶点，求k的值及该抛物线的解析式； （3）如图2，当点P在AB边上，点A′ 在CB上方时，连接A′O、A′P分别交CB边于点E、F．是否存在实数k使得△A′EF≌△BPF？若存在，求出k值；若不存在，说明理由； （4）以OP为直径作⊙M，则⊙M与矩形OABC最多有几个公共点，直接写出公共点个数最多时k的取值范围． y y y ′A
EFB C B C C
A′
P P
O A x O A x O
图1 图2 备用图
15．（浙江模拟）如图，点A的坐标为（0，－4），点B为x轴上一动点，以线段AB为边作正方形ABCD（按逆时针方向标记），正方形ABCD随着y 点B的运动而相应变动．点E为y轴的正半轴与正方形
C ABCD某一边的交点，设点B的坐标为（t，0），线段OE
E 的长度为m．
B （1）当t＝3时，求点C的坐标；
O D
x B A x x A