临江中学高二数学理科2-2教案 1 编写教师： 难得问
课题：变化率问题
教学目标：
1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一、情景导入
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二、知识探究
探究一：气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?43?r 3? 如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?33V 4?⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)?r(0)?0.62(dm) 气球的平均膨胀率为
r(1)?r(0)?0.62(dm/L)
1?0⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?r(1)?0.16(dm) 气球的平均膨胀率为
r(2)?r(1)?0.16(dm/L)
2?1r(V2)?r(V1)
V2?V1可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
探究二：高台跳水：
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述
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临江中学高二数学理科2-2教案 2 编写教师： 难得问
其运动状态?
思考计算：0?t?0.5和1?t?2的平均速度v
h(0.5)?h(0)在0?t?0.5这段时间里，v??4.05(m/s)；
0.5?0h(2)?h(1)在1?t?2这段时间里，v???8.2(m/s)
2?165探究：计算运动员在0?t?这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，
oh t h(65)?h(0)，所以v?49h(65)?h(0)6549这段时间里的?0(s/m)，虽然运动员在0?t?6549?049平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。 探究（三）：平均变化率
1、平均变化率概念：上述问题中的变化率可用式子
f(x2)?f(x1)表示,
x2?x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2．若设?x?x2?x1, ?y?f(x2)?f(x1) (这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+?x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1)) 则平均变化率为
?yf(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)? ?x2?x1?x?x?yf(x2)?f(x1)表示什么? ?x2?x1?xy f(x2) △y =f(x2)-f(x1) 直线AB的斜率
f(x1) O 思考：观察函数f(x)的图象：平均变化率
y=f(x) △x= x2-x1 x1 x2 x 第 2 页 共 57 页 临江中学高二数学理科2-2教案 3 编写教师： 难得问
3、函数f(x)从x0到x0＋△x的平均变化率怎么表示？ 三、典例分析
f(x0+Vx)-f(x0)Vx
例1．已知函数f(x)=?x?x的图象上的一点A(?1,?2)及临近一点B(?1??x,?2??y),
则
2?y? ． ?x2解：?2??y??(?1??x)?(?1??x)，
?y?(?1??x)2?(?1??x)?2∴??3??x ?x?x例2、求y?x在x?x0附近的平均变化率。
2?y(x0??x)2?x0?解：?y?(x0??x)?x0，所以 ?x?x222x0?2x0?x??x2?x0??2x0??x
?x 所以y?x在x?x0附近的平均变化率为2x0??x
例3、求函数y＝5x2＋6在区间[2，2＋△x]内的平均变化率
例4、某盏路灯距离地面高8m，一个身 高1.7m的人从路灯的正底下出发，以1.4m/s的速
度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率. 解：略 8 1.7
四．课堂练习
1．质点运动规律为s?t?3，则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率. 25?3?t3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. 五．回顾总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业 课后记:
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2222临江中学高二数学理科2-2教案 4 编写教师： 难得问
课题:导数的概念
教学目标：
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一、复习引入 1、函数平均变化率：
?yf(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1) ???xx2?x1?x2、函数平均变化率的几何意义：表示曲线上两点连线(割线)的斜率
3、在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映运动员在这段时间里运动状态.因为运动员从高台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。 二、知识探究
1、引例：计算运动员在0?t?65这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 49h ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，
h(65)?h(0)，所以v?49h(65)?h(0)49?0(s/m)， 65?049ot 虽然运动员在0?t?65这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情49况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 2、．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t?2时的瞬时速度是多少？考察t?2附近的情况：
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临江中学高二数学理科2-2教案 5 编写教师： 难得问
①、思考：当?t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？
②、结论：当?t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，
平均速度v都趋近于一个确定的值?13.1．
③、从物理的角度看，时间?t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，
因此，运动员在t?2时的瞬时速度是?13.1m/s ④、为了表述方便，我们用limh(2??t)?h(2)??13.1表示“当t?2，?t趋近于0时，
?t?0?t平均速度v趋近于定值?13.1”
⑤、小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度
的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
3、导数的概念：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?y ?lim?x?0?x?x''我们称它为函数y?f(x)在x?x0出的导数，记作f(x0)或y|x?x0，
即 f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)
?xf(x)?f(x0)
x?x0说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
（2）?x?x?x0，当?x?0时，x?x0，所以f?(x0)?lim4、一般地，求函数f(x)在x＝x0处的导数有哪几个基本步骤？ 第一步，求函数值增量：△y＝f(x＋△x)－f(x0)； 第二步，求平均变化率：
?x?0f(x0+Vx)-f(x0)Vy= VxVx(x0)=lim第三步，取极限，求导数：f￠5、常见结论：（1）limVy
Vx?0Vxf(x0-Vx)-f(x0)Vx=-f￠(x0) mf￠(x0) nf(x)-f(x0)x-x0x?x0=f￠(x0) （2） limVx?0（3）limf(x0+2Vx)-f(x0)VxVx?0=2f￠(x0) （4）limf(x0+mVx)-f(x0)nVxVx?0=三、典例分析
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例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数. 2分析：先求Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)
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