临江中学高二数学理科2-2教案 46 编写教师： 难得问
称该常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。记为：S=其中
òabf(x)dx，
ò-积分号，b－积分上限，a－积分下限，f(x)－被积函数，x－积分变量，[a,b]x)dx－被积式。 －积分区间，f(说明：（1）定积分
òabf(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S（n? 时）记为
òabf(x)dx，而不是Sn．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[a,b]；②近似代替：取点
bb-axi?[xi-1,xi]；③求和：?f(xi)；④取极限：òf(x)dx=limn?ani=1n?inf(xi)=1b-a n（3）曲边图形面积：S=òaf(x)dx；变速运动路程S=òtbt2v(t)dt；变力做功
1W=òabF(r)dr
探究二：定积分的几何意义
1、定积分的几何意义
b]上函数f(x)连续且恒有从几何上看，如果在区间[a,f(x)30，那么定积分
òaf(x)dx表示由直线x=b和曲线a,x=b(a?b),y0by=f(x)所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分òf(x)dx的几
a何意义。
说明：一般情况下，定积分
òabf(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图形以及直线
x=a,x=b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去
负号。
分析：一般的，设被积函数y=f(x)，若y=f(x)在[a,b]上可取负值。
Dx+L+f(xn)Dx 考察和式f(x1)Dx+f(x2)Dx+L+f(xi),f(xi+1),L,f(xn)<0；于是和式即为不妨设f(xi)f(x1)Dx+f(x2)Dx+L+f(xi-1)Dx-{[-f(xi)Dx]+L+[-f(xn)Dx]} \\òabf(x)dx=阴影A的面积—阴影B的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积）
思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？
第 46 页 共 57 页
临江中学高二数学理科2-2教案 47 编写教师： 难得问
探究三：定积分的性质 1、定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1性质2性质3性质4
òabkdx=k(b-a)；
bakf(x)dx=k蝌ab12b； f(x)dx(k为常数)（定积分的线性性质）
ba[f(x)?f(x)]dx蝌af1(x)dx ； af(x)dx（定积分的线性性质）
2b蝌f(x)dx=abbbcaf(x)dx+ cbf(x)dx(其中a a加性） (1) 蝌f(x)dx=-aaf(x)dx； (2) òaf(x)dx=0； ba说明：①推广： 蝌[f1(x)北f2(x)L?fm(x)]dxabf1(x)dx北蝌f2(x)dxabL bbafm(x) ②推广: f(x)dx=蝌abc1af(x)dx+f(x)dx+L+蝌c1c2ckf(x)dx ③性质解释： y性质4 性质1 y=1MOaPyACBNbxOabx S曲边梯形AMNB=S曲边梯形AMPC+S曲边梯形CPNB三．典例分析 例1．利用定积分的定义，计算分析：令f(x)=x； 3 ò10x3dx的值。 第 47 页 共 57 页 临江中学高二数学理科2-2教案 48 编写教师： 难得问 1]n等分，则第i个区间为：犏（１）分割：把区间[0,长度为：Vx=轾i-1i,(i=1,2,L,n)，每个小区间犏臌nnii-11-=； nnni（２）近似代替、求和：取xi=(i=1,2,L,n)，则 nò10x3dx?Snif()?Vx邋ni=1ni1()?ni=1nn31121骣1÷23?i=nn+1=1+()÷? 桫n÷n4i=1n444?1n22（３）取极限： ò101骣1÷1xdx=limSn=lim?=. ?1+÷÷n?n?4?桫n43例2．计算定积分 ò21(x+1)dx 分析：所求定积分是x=1,x=2，y=0与y=x+1所围成的梯形面积，即为如图阴 255影部分面积，面积为。即：ò(x+1)dx= 122y 思考：若改为计算定积分 ò2-2(x+1)dx呢？ O 1 2 x 改变了积分上、下限，被积函数在[-2,2]上 出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题） 例３．计算定积分 ò10(2x-x2)dx (2x-x)dx=2蝌01210分析：利用定积分性质有，利用定积分的定义分别求出四．课堂练习 计算下列定积分 1．2． xdx- 10x2dx 1ò10xdx，òxdx，就能得到ò(2x-x2)dx的值。 2001òò501(2x-4)dx ò(2x-4)dx=9-4=5 05-1xdx òxdx=-1111创11+创11=1 223．课本练习：计算 ò20x3dx的值，并从几何上解释这个值表示什么？ 五．回顾总结 1．定积分的概念、用定义法求简单的定积分、定积分的几何意义． 六．布置作业 P50 3、5 第 48 页 共 57 页 临江中学高二数学理科2-2教案 49 编写教师： 难得问 课题：微积分基本定理 教学目标： 1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 教学难点：了解微积分基本定理的含义。 教学过程： 一．复习旧知 问题1；定积分的概念 问题2：用定义计算定积分的步骤 二．引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（v(t)?o）， 则物体在时间间隔[T1,T2]内经过的路程可用速度函数表示为达，即 ?T2T1（板书） v(t)dt。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在[T1,T2]上的增量S(T1)?S(T2)来表 ? T2T1v(t)dt=S(T1)?S(T2) 第 49 页 共 57 页 临江中学高二数学理科2-2教案 50 编写教师： 难得问 而S?(t)?v(t)。 对于一般函数f(x)，设F?(x)?f(x)，也有 ?baf(x)dx?F(?b)F( a)若上式成立，我们就找到了用f(x)的原函数（即满足F?(x)?f(x)）的数值差 F(b)?F(a)来计算f(x)在[a,b]上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数F(x)是[a,b]上的连续函数f(x)的任意一个原函数，则 ??babaf(x)dx?F(b)?F(a) b为了方便起见，还常用F(x)|a表示F(b)?F(a)，即 f(x)dx?F(x)|ba?F(b)?F(a) 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的 一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例1．计算下列定积分： 311； （2）dx(2x?)dx。 2?1x?1x1'解：（1）因为(lnx)?， x212所以?dx?lnx|1?ln2?ln1?ln2。 1x1'12'（2））因为(x)?2x,()??2， xx33311所以?(2x?2)dx??2xdx??2dx 111xx131223。 ?x2|1?|1?(9?1)?(?1)?x33（1） 2练习：计算解：由于 ?10x2dx 13x是x2的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 31131131312 ?xdx=x|0=?1??0= 03333第 50 页 共 57 页