临江中学高二数学理科2-2教案 6 编写教师： 难得问
再求
?y?f?6??x再求lim?6
?x?0?x?x解：法一（略）
3x2?3?123(x2?12) 法二：y?|x?1?lim?lim?lim3(x?1)?6
x?1x?1x?1x?1x?1（2）求函数f(x)=?x?x在x??1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
2?y?(?1??x)2?(?1??x)?2解：??3??x
?x?x?y?(?1??x)2?(?1??x)?2 f?(?1)?lim??lim(3??x)?3
?x?0?x?x?0?x例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为f(x)?x?7x?15(0?x?8)，计算第
?22h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6) 根据导数定义，
''f(2??x)?f(x0)?f ??x?x(2??x)2?7(2??x)?15?(22?7?2?15)???x?3
?x所以f?(2)?lim?f?lim(?x?3)??3
?x?0?x?x?0同理可得:f?(6)?5
在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为?3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升． 注：一般地，f(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况． 四．课堂练习
1．质点运动规律为s?t?3，求质点在t?3的瞬时速度为．
2．求曲线y=f(x)=x3在x?1时的导数．
3．例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 五．回顾总结
1．瞬时速度、瞬时变化率的概念 2．导数的概念 六．布置作业
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2'??临江中学高二数学理科2-2教案 7 编写教师： 难得问
课题：导数的几何意义
教学目标：
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学过程： 一．复习引入
1、函数f(x)在x＝x0处的导数的含义是什么？
f￠(x0)=limf(x0+Vx)-f(x0)Vy=lim
Vx?0VxVx0Vx2、求函数f(x)在x＝x0处的导数有哪几个基本步骤？
3、导数f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，这是导数的代数意义，导数是否具有某种几何意义，是一个需要探究的问题. 二．知识探究
探究一：导数的几何意义
1、曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当Pn(xn,f(xn))(n?1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？
图3.1-2 我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个
确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？ ⑵切线PT的斜率k为多少？
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容易知道，割线PPn的斜率是kn?f(xn)?f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无
xn?x0?x?0限趋近于切线PT的斜率k，即k?limf(x0??x)?f(x0)?f?(x0)
?x说明： ⑴、设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在x?x0处的导数.
⑵、曲线在某点处的切线：
①、与该点的位置有关；②、要根据割线是否有极限位置来判断与求解。如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的；如不存在,则在此点处无切线；③、曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. 2、导数的几何意义：
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率， 即：f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?k
?x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①、求出P点的坐标;
②、求出函数在点x0处的变化率f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?k ，得到曲线在点
?x(x0,f(x0))的切线的斜率；
③、利用点斜式求切线方程. 探究二；导函数概念： 1、导函数定义：
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f?(x0)是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f?(x)或y?，
即: f?(x)?y??lim?x?0f(x??x)?f(x)
?x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
2、函数f(x)在点x0处的导数f?(x0)、导函数f?(x)、导数之间的区别与联系。
1）函数在一点处的导数f?(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数
'3）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f?(x)在x?x0处的函数值，这也是求函
数在点x0处的导数的方法之一。
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三．典例分析
2
例1:（1）求曲线y=f(x)=x+1在点P(1,2)处的切线方程.
2
（2）求函数y=3x在点(1,3)处的导数.
[(1??x)2?1]?(12?1)2?x??x2解：（1）y?|x?1?lim?lim?2,
?x?0?x?0?x?x所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y?2?2(x?1)即2x?y?0
3x2?3?123(x2?12)（2）因为y?|x?1?lim?lim?lim3(x?1)?6
x?1x?1x?1x?1x?1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y?3?6(x?1)即6x?y?3?0 练习：求函数f(x)=?x?x在x??1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
2?y?(?1??x)2?(?1??x)?2解：??3??x
?x?x?y?(?1??x)2?(?1??x)?2 f?(?1)?lim??lim(3??x)?3
?x?0?x?x?0?x例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)??4.9x?6.5x?10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况．
解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．
（1） 当t?t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所
以，在t?t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
（2） 当t?t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h?(t1)?0，所以，在t?t1附近曲线下
降，即函数h(x)??4.9x?6.5x?10在t?t1附近单调递减．
（3） 当t?t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h?(t2)?0，所以，在t?t2附近曲线下
降，即函数h(x)??4.9x?6.5x?10在t?t2附近单调递减．
从图3.1-3可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比
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在t2附近下降的缓慢．
例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度c?f(t)(单位：mg/mL)随时间
t（单位：min）变化的图象．根据图像，估计t?0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度
的瞬时变化率（精确到0.1）．
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率．
如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作t?0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：
k?0.48?0.91??1.4
1.0?0.7所以 f?(0.8)??1.4
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值： t 0.2 药物浓度瞬时变化率f(t) 四．课堂练习
1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线； 2．求曲线y?'0.4 0 0.6 -0.7 0.8 -1.4 0.4 x在点(4,2)处的切线．
五．回顾总结
1．曲线的切线及切线的斜率； 2．导数的几何意义 六．布置作业 课后记
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