(1)
(2)
19.将函数 展开成傅里叶级数.
是周期为
的周期函数,它在
上的表达式为
20.设
将 展开成傅里叶级数.
展开成正弦函数
21.将函数
22.将函数 分别展开成正弦技术和余弦级数
23.将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式) (1)
(2)
(3)
24.将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数
(1)
(2) 25.设 试将 26．设
上的表达式为
,
是周期为2的周期函数,它在 展开成复数形式的傅里叶级数. 是周期为
的周期函数,已知它的傅里叶级数的复数形式为
试写出的傅里叶级数的实数形式(即三角形
式)
四、 证明题
1．三角形的三条 垂线交于一点。（提示：用向量方法）
2．设其中z?yf(x2?y2),f是导数存在的一元函数，证明函数z满足方程
1?z1?zz???2。 x?xy?yy3．证明limx?0y?0x?y不存在。 x?y?2u?2u?2u12224．设u?,r?x?y?z,证明2?2?2?0.
r?x?y?z5．证明：曲面xyz?1的任一切平面与坐标面形成的四面体体积为常数。
1?22(x?y)sin,x2?y2?0?22x?y6．设f(x,y)??，
?0,x2?y2?0? 证明：f(x,y)在原点（0，0）偏导数存在但不连续。 7．证明不等式
1???(siny2?cosx2)dxdy?2,其中D:正方形域：0?x?1,0?y?1。
D8．证明曲线积分I??(x?2xy)dx?(x2?y4)dy与路径无关，其中L是由点
L2（0，0） 到（1，1）的曲线y?sin?2x，并计算I的值。
9．若级数?an(an?0)收敛，证明?an收敛。
n?1??2n?110. 已知级数?an和?bn都收敛，证明级数?anbn绝对收敛。
n?1n?1n?1?2?2?五、 应用题
1． 求曲线x?t,y??t2,z?t3与平面x?2y?z?4平行的切线。 2． 用对称式方程及参数方程表示直线??x?y?z?1?0
2x?y?3z?4?0?3． 曲面z?ez?2xy?3在点（1，2，0）处的切平面方程和法线方程。 4． 求曲面z?x2?y2及z2?x2?y2所围成的立体的体积。 5． 求由曲面x2?y2?z2?a2及x2?y2?ax所围成图形的体积。
6．求位于两圆x2?(y?2)2?4和x2?(y?1)2?1之间的均匀薄片的重心位置。 7．试分解已知正数a为三个正数之和，而使它们的倒数之积最小。
x2y2z28．在第一卦限内作椭球2?2?2?1的切平面，使得切平面与三坐标面围成的体积最
abc小，求切点的坐标。
9．设生产某种产品必须投放入两种要素，x1 和x2分别为两要素的投入量，Q为产出量，若生产函数Q?2x1ax2b，其中a,b为正常数，且a?b?1,假设两种要素的价格分别为
p1,p2,试问，当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小。
10．某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1,p2，销售量分别为q1,q2,需求函数及总成本函数分别为q1?24?0.2p1,q2?10?0.05p2,C?35?40(q1?q2)，试问厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？ 11．求级数
n的和。 ?n2n?11?exdx的近似值。 12．计算积分?0.1x13．将函数f(x)?x展开x的幂级数。
x2?x?214．设有一个无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm,内高为20cm，内半径为4cm,
求容器外壳体积的近似值。 15．设曲线积分
计算
?xyL2dx?y?(x)dy与路径无关，其中?(x)具有连续的导数，且?(0)?0，
???1，1?0,0?xy2dx?y??x?dy。