同步级年六
其中听英语讲座的人数是听语文讲座人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这一组是第几组？ 【难度】★★★ 【答案】第6组
【解析】设听语文讲座的人数为x，那么听英语讲座的人数为6x， 则在教室里的一组人数为(82?7x)人； 由已知得：3?82?7x?13，且82?7x为整数．
62 解得：9?x?11．
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因为x为整数，所以x的取值为10或者11．
当x?10时，82?7x?12，第6组； 当x?11时，82?7x?5（舍）； ∴留在教师的是第6组．
【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题．
1、因数和倍数的意义
整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）．
【例15】有一个算式63?7?9，则可以说______能被______整除，也可以说______能整除
______，还可以说______和______是______的因数，______是______和______的倍数． 【答案】63，7，7，63，7，9，63，63，7，9；
【例16】分别写出12、19和36的因数，再分别写出这三个数的倍数（倍数只需从小到大依
次写3个）． 【难度】★
【答案】12的因数：1，2，3，4，6，12；倍数是：12，24，36……
6 / 6 模块三：因数和倍数的意义
知识精讲
例题解析
六年级同步
19的因数：1，19；倍数是：19，38，57……
36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；倍数是：36，72，108……
【例17】在圈内填写满足条件的数：
【难度】★
【答案】18的因数：1，2，3，6，9，18； 27的因数：1，3，9，27； 既是18的因数又是27的因数：1，3，9
【例18】下列各数中是否含有相同的因数，若含有请指出．
（1）6和9；
【难度】★★
【答案】（1）含有相同的因数：1和3；（2）含有相同的因数：1和3．
【例19】从小到大依次写出10个2的倍数：_____________________________________；
从小到大依次写出10个3的倍数：_____________________________________； 其中__________________________既是2的倍数，又是3的倍数．
【答案】2，4，6，8，10，12，14，16，18，20； 3，6，9，12，15，18，21，24，27，30； 6，12，18，24，30；
【例20】已知：A?2?3?5，B?3?3?5，则A和B相同的因数有哪些？ 【答案】1，3，5，15．
【例21】一个正整数只有2个因数而且这个数比10小，这个数可以是多少？ 【答案】2，3，5，7
【例22】两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？ 【答案】30
【解析】∵216?2?2?2?3?3?3?12?18， ∴这两个数是12和18，和是30．
（2）27和51．
既是18的因数又是27的因数
18的因数 27的因数
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【总结】本题主要是对因数的概念的综合运用．
【例23】1到100之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？ 【难度】★★
【答案】1，4，9，16，25，36，49，64，81，100
【解析】因数是奇数的数是平方数，1－100之间的平方数是1，4，9，16，25，36，49， 64，81，100；
【总结】当一个正整数是平方数时，它的因数个数是奇数个．
【例24】李明去儿童乐园玩，儿童乐园是1路车和13路车的始发站，1路车每5分钟发车
一次，13路车每6分钟发车一次．现在这两路车同时发车以后，至少再经过多少分钟又同时发车？ 【答案】15分钟
【例25】用16块面积是1平方厘米的正方形，可以拼成多少种形状不同的长方形？它的长
和宽分别是多少厘米？
【答案】三种：（1）16，1；（2）8，2；（3）4，4．
【例26】一筐苹果，2个一拿或3个一拿或4个一拿或5个一拿都正好拿完没有余数，问这
筐苹果最少有多少个？ 【难度】★★★ 【答案】60
8 / 8 师生总结 1、求一个整数的因数的方法有哪些？ 2、求一个整数的倍数的方法有哪些？ 3、一个正整数的最小的因数和最大的因数是什么？4、一个正整数最小的倍数是什么？
六年级同步
【解析】通过枚举法会发现2、3、4、5的最小的倍数是60， 所以至少再经过30分钟又同时发车．
【例27】小明有一本共126张纸的记事本，他依次将每张纸的正反两面编页码，即由第1
页一直编到252页．如果从这本记事本中撕下31张纸，并将它们的页码相加，和是否可能等于2010？ 【答案】不能
【解析】31张纸的所有页码中，共31个奇数和31个偶数相加，答案是奇数，不可能是2010． 另：拓展来看，
每一张纸的页码和：1+2=3， 3+4=7， 5+6=11，…… 共同点：加上1后都是4的倍数，
整体考虑，32页纸的页码和+31应是4的倍数，但2010+31不能被4整除， 所以是不可能的．
【总结】奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数．
【例28】我们知道，每个正整数都有因数，对于一个正整数a，我们把小于a的正的因数叫
做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个正整数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”
4是(1?2?5)?10?．一个正整数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如
58的“完美指标”是(1?2?4)?8?以我们说8比10完美． 根据上述材料，回答下面问题： （1）5的“完美指标”是____________； （2）6的“完美指标”是____________； （3）9的“完美指标”是____________．
（4）试找出比20大，比30小的正整数中，最“完美”的数． 【难度】★★★
14【答案】 （4）28； （）1；（2）1；（3）；5911?2?3【解析】（1）5的“完美指标”：； （2）6的“完美指标”是：?1
657474，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所8585 （3）9的“完美指标”是：
1?34?； 991，不够完美； n （4）素数的“完美指标”为
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合数的真因数较小，完美指标也会比较小，不够完美； 所以验证24和28的完美指标：
1?2?3?4?6?8?123 24的“完美指标”是：?；
242 28的“完美指标”是
1?2?4?7?14?1；
28 ∴28是比20大，比30小的正整数中，最“完美”的数．
【总结】本题主要是考查学生的理解能力，通过对题目中新的概念的理解，利用概念去解决
1、能被2整除的数
能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数； 能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数． 2、能被5整除的数
能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数． 3、能同时被2、5整除的数
能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．
【例29】已知：11，15，32，56，19，123，312，566，787，哪些是奇数？哪些是偶数？ 【难度】★
【答案】奇数：11，15，19，123，787； 偶数：32，56，312，566．
【例30】已知：17，25，70，98，105，370，952，其中能被5整除的数有_____________． 【难度】★
【答案】25，70，105，370．
【例31】在圈内写出满足条件的数：12，25，40，75，80，94，105，210，354，465，760．
能被2整除的数
10 / 10 新的问题．
模块四：能被2、5整除的数
知识精讲
例题解析
能被5整除的数
能同时被2和5整除的数