??/2 的概率为
sin2?2 。
（3）任意表象中的本征值和本征函数
例如，在Sx表象中，可利用以下算符的本征方程求解本征值和本征函数
????10???01???0?i??????Sx??Sy??Sz??????0?110i0222??????
??事实上，将Sz表象结果通过坐标轮换即可：z,x,y?x,y,z 可自行证明 （4）对波函数作用的任意算符
考虑到自旋问题，任意状态波函数都应是二分量形式，所以对波函数运算的算符都应该是2?2矩阵。为此，只要将过去的算符乘以一个2?2的单位矩阵即可。如
??10???10????x?x?Lz??i??01???01??????
??任意算符G在
??态中的平均，必须考虑矩阵和坐标两种运算。
G??G???对自旋求平均
对坐标和自旋同时求平均
???*1?G11G12???1?????G??????G22??2? （5.1.41）?21
*2?G???G?d??? （5.1.42）
四、举例
1． 证明
?Sx?1(sz)??1(sz)2?22?Sx?1(sz)?
?2???1(sz)22?1 ，并在
2态中求
2sx,sx,(?sx)2
??01??1???0??????Sx?1(sz)???????????2??1(sz)100122??????22解：
???01??0???1??Sx?1(sz)???10????1???2??0???2?1(sz)?2??????22
?Sx??Sx?1?
2?12????1?1?022?2
????2??2S??Sx?1??1Sx?1??1?1??224224222x?12?2
(?Sx)?S?Sx?22x2?2?2??0?44
还可证明
i?Sy?1??12?22Sy?
??12??i??122
?1?R21Y11??????23???R21Y10????2?态中，求轨道角动量的z分量Lz的平均值 2． 在氢原子的
??10??Lz??i??01?????? 所以 解： 因
?
?1*Lz???Lz?d????RY?22111??????i???3??*???R21Y10??2??0???1???R21Y11???2?d????3??i??RY?2110???????20?1*???RY2111?2?
?1??(R21Y11)???i????23*??d??R21Y10?????32??i?(R21Y10)???2??
Y11? 因为
3?3?sin?ei?,Y11?iY11Y10?cos?,Y10?08???4???
所以
?1*Lz???RY2111?2????123??*??R21Y11??R21Y10?d??RYd???2111??2?244??0?
§5.2 电子的总角动量
一、总角动量及其对易关系
1． 总角动量的定义
?????电子的总角动量J为轨道角动量L?r?p与角动量S的和。
???J?L?S （5.2.1）
即：
J??L??S?,??x,y,z （5.2.2）
2. 对易关系
1）J?J?i?J
因为L?与S?属于不同自由度，相应的算符相互对易，即：
[L?,S?]?0，?,??x,y,z 因此
[Jx,Jy]?[Lx,Ly]?[Sx,Sy]
?i?(Lx,Sx)?i?Jz 总之，J?J?i?J。
2）[??,???L?]?2iL??????2i???L? 由于L?与S?相互对易，J?2可以写成
J?2?J??J??(L??S?)?(L??S?)
?L?2?S?2?2S??L??L?2?S?2?????L? 其中
???L???xLx??yLy??zLz 其与??各分量的对易式为：
[??,???L?]?2iL??????2i???L? 3）[L?,???L?]?i????L?
[L,???L?x]??y[Lx,Ly]??z[Lx,Lz]
?i?(?????yLzzLy)?i?(??L)x
亦即：
[L?,???L?]?i????L? 综合（5.2.7）和（5.2.9）。可得：
（5.2.3）
（5.2.4）
（5.2.5）
（5.2.6）
（5.2.7）
（5.2.8） （5.2.9）
???[J,??L]?0 （5.2.10）
二、本征值和本征函数
1．本征值
3?2l?0,1,2,......，S?S本征值已求出，由（5.2.5）式可见，既然L，为L?l(l?1)?，
422222????因此要求出J2的本征值，只需求出??L的本征值。利用上节的（5.1.36）式可得，J2，L2??的共同本征态也是??L的本征态。将（5.1.36）式作用于这个共同本征态，式中各算符就
??转化成本征值。因此??L的本征值满足方程：
????(??L)2????L?l(l?1)?2?0 （5.2.11）
亦即
????(??L?l?)[??L?(l?1)?]?0 （5.2.12）
解为：
??L(本征值)?l?,???(l?1)? （5.2.13）
??注：l=0时，??L的本征值为0，将其代入（5.2.5）式，可得：
?2J(本征值)?j(j?1)?2 ??L?l?????L??(l?1)???j?l?1212(l?0,1,2,......) (l?1,2,3,......) （5.2.14）
j?l??2 对于每一种J本征值，Jz本征值有（2j+1）种：
mj?j,j?1,...,(?j) （5.2.15）
2． 本征函数
电子波函数的一般形式可表示成
?(r,Sz,t)??1(r,t)?1/2(Sz)??2(r,t)??1/2(Sz) （5.2.16）
??时?的函数值，?2表示Sz??时?的函数值。采用（x，y，z,Sz）的22表象，上式可表示成：
????1???0???1(r,t)? ?(r,Sz,t)??1(r,t)????2(r,t)???? ?? （5.2.17）
?(r,t)01?????2?其中?1表示Sz?波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分
???
???**???dxdydz?(?1?1??2?2)d??1 （5.2.18）
???采用球坐标(r,?,?),则?1,?2均为(r,?,?)和时间t的函数.因角动量算符L和J与径向??距离r无关,研究L2,J2,Jz共同本征函数时,可暂不考虑?与r的关系,而将本征函数表示成
?(?,?,Sz)??1(?,?)?1/2(Sz)??2(?,?)??1/2(Sz)
??(?,?)? ??1? （5.2.19）?(?,?)?2??作为L2的本征函数, ?1,?2显然应该是l值相同的球谐函数,因此,可令
??C1Ylm1(?,?)?1/2?C2Ylm2(?,?)??1/2 （5.2.20）
作为Jz的本征函数, ?应该满足本征方程
1Jz??(Lz?Sz)??mj??=(m?)??
2 容易看出,为此只需m1?m,m2?m?1, 则式(5.2.20）可写为
??C1Ylm(?,?)?1/2?C2Ylm?1(?,?)??1/2 （5.2.21）
确定系数C1,C2
???因为?也是J2的本征函数,应该满足??L的本征方程,因此有下列结果:
?Y??m?Y? ?zL?zlm1/2lm1/2?Y??zL?zlm?1?1/2??(m?1)?Ylm?1??1/2
????)Y??(L?iL)Y??xL?yL(?xylm1/2xylm?1/2?(l?m?1)(l?m)?Ylm?1??1/2 ????)Y??xL?yL(?xylm?1?1/2?(Lx?iLy)Ylm?1?1/2?(l?m?1)(l?m)?Ylm?1?1/2
????)作用?对式（5.2.21）中二项的作用结果,各得一个本征值;而(??zL?xL?yL可见,?zxy的结果则使其二项互相转化.
C??将（5.2.21）代入??L的本征方程,就可求出1,再利用归一化条件,就可得出C1,C2,
C2结果如下