??(1) ??L?l?1(l?0,1,2,......) 2C1l?m?11/2l?m?11/2l?m1/2?(), C1?(), C1?() C2l?m2l?12l?1j?l?j?l?12(l?1,2,3,......)
??(2) ??L??(l?1)?C1l?m1/2l?m1/2l?m?11/2?(), C1??(), C1?() C2l?m?12l?12l?1?2?2这样得到的(L,J,Jz)共同本征函数为:
(1) j?l?11, mj?m? 22?ljml?(?l?m?11/2l?m1/2)Ylm?1/2?()Ylm?1??1/2 2l?12l?1?l?m?1Ylm??? 2l?1??l?mYlm?1??1(2 j?l?11, mj?m? 22?ljml?(?l?m?11/2l?m1/2)Ylm?1??1/2?()Ylm?1/2 2l?12l?11??l?mYlm??? 2l?1??l?m?1Ylm?1??????????二者物理性质的主要区别是,前者S?L?0,为S?L平行态, 后者S?L?0,为S?L反平行态.
§5.3角动量的耦合
考虑电子自旋后，那么一个电子就涉及二个角动量：轨道角动量与自旋角动量。二个角动量如何相加，就是所谓的两个角动量的耦合问题。角动量耦合是一个很重要但又非常复杂的理论，本讲主要讨论两个角动量耦合（轨道与自旋角动量、自旋与自旋角动量等）的一般理论，总角动量的本征值和本征矢，近而对量子系统给出更精确的描述。
一、体系的两种表象
1 无耦合表象
??J,J 设12是属于不同自由度的角动量算符，它们相互对易：
??J??i?J????J111 J2?J2?i?J2
?2,J?2?[J?[J1,J1i]?0 22i]?0 （5.3.1）
?,J?]?0?2,J?2]?0[J[J1i2j 12
(i,j?x,y,z)
????其中，前四个关系式分别表示J1,J2自身的性质；后两个对易关系，完全是因为J1,J2是
各自独立的。
jm? 设?j1m1是J,J1z的共同本征态，或记为11，相应的本征值分别为j1(j1?1)?2,m1?；
又??21?j2m2jm?是J,J2z的共同本征态，或记为22，相应的本征值分别为
?22?j2(j2?1)?2,m2?，则有本征方程
??22Jjm??j(j?1)?j1m1?11111???J1zj1m1??m1?j1m1????2?J2j2m2??j2(j2?1)?2j2m2????J2zj2m2??m2?j2m2?? （5.3.2）
，或
??????22J,J由于12是各自独立的，J1,J2,J1z,J2z相互对易，他们的共同本征态为?j1m1j2m2记为j1m1j2m2，则有：
（在坐标表象，它们构成正交归一完备系，
j1m1j2m2?j1m1?j2m2??rj1m1j2m2?Yj1m1(?1,?1)Yj2m2(?2,?2) (5.3.3)
）
称为无耦合基
?m1?j2?m2?j1m1j2m2??j1?j1?j2?j2?m1?m1?m?2m2j1?21?22??矢，以此为基矢的表象称为无耦合表象。
（1）在无耦合表象中，J,J,J1z,J2z均为对角矩阵；
（2）对于给定的j1,j2，m1可取(2j1?1)个值，m2可取(2j2?1)个值，所以无耦合表象基矢有(2j1?1)(2j2?1)个，各自以量子数m1,m2的不同取值而体现，所以无耦合表象
基矢有时写成
m1m2? 。
1.2 耦合表象
总角动量算符定义:
??J??J?J12 (5.3.4)
?J满足关系式.
?2,J?]?0??J??i?J?[JJi (i?x,y,z) (5.3.5)
由于
?,J?J12对易，总角动量平方算符写为
J?(J1?J2)?J?J?2J1?J2?2??2?21?22?? (5.3.6)
由此可证明
????2?222[J,J]?0,[J,J]?012?????2?2[J,J1i]?0,[J,J2i]?0???????22[Ji,J1]?0,[Ji,J2]?0??????[J,J]?0,[Ji,J2j]?0?i1j?(i,j?x,y,z,i?j) ? (5.3.7)
由此可见 ，
?2,J?,J?2,J?2Jz12对易，它们具有共同本征矢
j1j2jm，则
?2,J?Jz的本征方程
为
??22?Jj1j2jm??j(j?1)?j1j2jm????Jzj1j2jm??m?j1j2jm? ? (5.3. 8）
j1j2jm也构成一组正交归一完备系，
?j2?j?m?j1j2jm??j1?j1?j2?j2?j?j?m?mj1
以此为基矢的表象称为耦合表象。 （1）在耦合表象中，算符 （2）对于给定的j1,j2，
?2,J?,J?2,J?2Jz12均为对角矩阵；
j1j2jm中可有不同的j或m，所以有时可把耦合基矢写为
jm?其中
m可取2j?1个值，，对应一个j值，所以耦合表象基矢应有
?(2j?1)jminjmax个 ，
jmax,jmin由j1,j2确定。
二、 耦合表象基矢的展开
?2,J?2J12，但因耦合表象 以上两个表象，从它们相应的力学量的完全集看，尽管都含
中?2J与无耦合表象中的J1z,J2z不对易，故它们是描述同一状态的两个不同表象。假定
??j1,j2确定，我们可将耦合表象基矢按无耦合表象基矢展开
j1j2jm? 展开系数
m1,m2?jmjm1122j1m1j2m2j1j2jm (5.3. 9）
j1m1j2m2j1j2jm是耦合表象基矢在无耦合表象基矢上的分量，称为矢量耦合
系数或称克来布希－高登系数（Clebsch-Gorden）,简称C－G系数。
由 Jz?J1z?J2z可知 m?m1?m2 故 m1?m?m2 所以将（5.3.9）改写成
???
j1,j2,j,m??j1,m?m2,j2,m2j1,m?m2,j2,m2j1,j2,j,mm1 (5.3. 10）
1．量子数j的取值
m?m1max?m2max?j1?j2，而 ?j?mmax?j
当量子数j1,j2给定时，max故有
jmax?mmax?j1?j2 （11）
j j值从max往下依次减1，那么j的最小值jmin应是多少？我们知道无耦合表象到
耦合表象只是一个幺正变换，所以两个表象的基矢数应该是相等的，即有
jmax?j1?j2
?(2j?1)?(2jjmin1?1)(2j2?1)
22左边是从jmin到j1?j2的等差级数求和，计算后得 jmin?(j1?j2) 而j?0
所以
因此，j的取值 2. 矢量耦合系数
jmin?j1?j2 (5.3.12）
. （5.3.13）
j?j1?j2,j1?j2?1,?j1?j2 矢量耦合系数的明显表达式的推导十分复杂，有专门表可查，有兴趣的话可以参考有关高等量子力学书籍，在此仅给出j1（任意）, j2?1/2时的几个矢量耦合系数 ，并代入（10）式得
三、 光谱的精细结构
光谱的精细结构来自于能级的精细结构(以Na的D线为例，精细结构是双线)。现在我们可以用考虑电子自旋后的量子力学简并微扰理论加以解释。
在无外场情况下，考虑轨道与自旋的相互作用，借助于相对论量子力学导出的轨道与自 旋相互作用能量表达式
于是体系的哈密顿算符写为
1dU(r)???Els?L?S222?crdr （5.3.15）
12???H?????S??H??H?2?U(r)??(r)L02? （5.3.16）