第三章 三角恒等变换
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
⑴cos??????cos?cos??sin?sin?；⑵cos??????cos?cos??sin?sin?； ⑶sin??????sin?cos??cos?sin?；⑷sin??????sin?cos??cos?sin?； ⑸tan??????tan??tan? ? （tan??tan??tan??????1?tan?tan??）；
1?tan?tan?⑹tan??????tan??tan? ? （tan??tan??tan??????1?tan?tan??）．
1?tan?tan?25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴
sin2??2sin?cos?．?1?sin2??sin2??cos2??2sin?cos??(sin??cos?)2
⑵cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?
?,1?cos??2sin2?升幂公式1?cos??2cos2?22cos2??11?cos2?，sin2??． ?降幂公式cos2??2226、
万能公式:2tanαα1?tan22;cosα? 2sinα? αα1?tan21?tan2222tan? tan2??．
1?tan2?27、
半角公式:
α1?cosαα1?cosαcos??;sin??
2222
α1?cosαsinα1?cosαtan????
21?cosα1?cosαsinα
?（后两个不用判断符号，更加好用） 28、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的
?sin???cos???2??2sin?????，其中tan??y?Asin(?x??)?B形式。
?． ?29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角
与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的
差异，使问题获解，对角的变形如： ①2?是?的二倍；4?是2?的二倍；?是
?2的二倍；
??是的二倍； 2430o?②15?45?30?60?45?；问：sin? ；
212ooooocos?12? ；
③??(???)??；④
?4????2?(?4??)；
⑤2??(???)?(???)?(?4??)?(?4??)；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余
弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 1?sin2??cos2??tan?cot??sin90o?tan45o
（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处
理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，
有时需要升幂，如对无理式1?cos?常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如：
1?tan?1?tan??_______________； ?______________；
1?tan?1?tan?tan??tan??____________；1?tan?tan??___________； tan??tan??____________；1?tan?tan??___________；
2tan?? ；1?tan2?? ；
tan20o?tan40o?3tan20otan40o? ；
sin??cos?? = ；
（其asin??bcos?? = ；
中tan?? ；）
1?cos?? ；1?cos?? ；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理
化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。
oo如：sin50(1?3tan10)? ；
tan??cot?? 。
基础练习
一 选择题
1．已知sin??5,sin??10,且?,?为锐角，则???的值是（ ）
5103?7??? Ｂ. Ｃ. Ｄ.
4442??2．设??????,则???的范围是（ ）
Ａ.
22??????A．???,0? B.???,?? C.???,0? D、??,? ?2??22?3．cos275?cos215?cos75cos15?（ ）
A．3563 B、 C. D.1? 2424??4.若???0,A.
3?????，若，则sin??2cos??????（ ） 2?45??7171 B. C.? D.? 5555225.设sinx?siny?m，则sin?x?y?sin?x?y?的值是（ ）
mm D.?
22536.在?ABC中，已知cosA?,sinB?,则cosC的值是（ ）
135A.m B.?m C.
1556165616 B. C.或 D.? 6565656565437.已知cos??????,cos??????,则tan??tan?的值等于（ ）
55A.A.
11 B.? C.7 D.?7 778.使函数f?x??sin?2x????3cos?2x???为奇函数，且在区间?0,??上为减函数的
??4???的一个值为（ ）
5?2?4?? Ｂ. Ｃ Ｄ
333359.已知?是第三象限角，且满足sin4??cos4??，那么sin2?的值等于（ ）
9Ａ.Ａ232222 Ｂ Ｃ Ｄ? 33334???,0?,cosx?,则tan2x等于（ ）
5?2?10.已知x???772424 Ｂ? Ｃ Ｄ? 2424774311.若cos???,sin??,则2?的终边在（ ）
55Ａ
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
12.已知????,2??，则A.sin1?cos?????等于（ ）
2?2 B.cos
?2
C.?sin2?2 D.?cos?2
13函数f?x??1?4cosx?4sinx,x?????2??,有（ ） ?43??A.最大值0，最小值?8 B.最大值5，最小值?4
C.最大值5，最小值?3 D.最大值22?1，最小值?3 14.函数y?2sinx?sinx?cosx?的最大值为（ ）
A.2 B.2 C.2?1 D.2?1 15.函数y?1的最大值是（ ）
2?sinx?cosx A．
2222?1 B.?1 C.1? D.?1? 22224
2
16.函数y＝sinx＋cosx的最小正周期为（ ）
A．
?? B． C．? D．2? 42王新敞17.
sin10?sin50的值是（ ）
sin35sin55A.?2 B.2 C.?2211 D. 2218.若cos??cos??m,则cos?????cos?????的值为（ ）
A.m?1 B.?m?1 C.1?m D.m?1
19.?ABC中，若sinA?2cosBsinC，则?ABC一定是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 20.函数y?sinx?3cosxcosx?3sinx的最小正周期为（ ）
A.4? B.2? C.? D.
????? 2