一. 判断方程
uxx?y2uyy?0
的类型，并化成标准形式．
解：因为???y2?0(y?0)，所以除x轴外方程处处是椭圆型的。 2分
2它的特征方程是 ??dy??dx???y2?0
即dydx??iy
特征线为 lny?ix?c1,lny?ix?c2
作变换：????lny???x
求偏导数
??ux?u??uxx?u?????1 ?uy?yu?????u1yy?y2(u???u?)
将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式
u???u???u?
二. 求解初值问题
5分
7分
分
10
??utt?4uxx,???x???,t?0???ut?0?x2,ut t?0?cosx
解：a?2,?(x)?x2,?(x)?cosx
利用达朗贝尔公式
u(x,t)?12[?(x?at)??(x?at)]?1x?at2a?x?at?(?)d?得
u(x,t)?11x?2t2[(x?2t)2?(x?2t)2]?4?x?2tcos?d?
?x2?4t2?14[sin(x?2t)?sin(x?2t)]?x2?4t2?12cosxsin2t 三. 用分离变量法解定解问题
???utt?a2uxx,0?x?l,t?0
?uxx?0?0,ux|x?l?0? ??ut?0?x,utt?0?0.解 先求满足方程和边界条件的解.设解为
u(x,t)?X(x)T(t) 代入方程得
X(x)T??(t)?a2X??(x)T(t)
除以a2X(x)T(t)有
X??(x)X(x)?T??(t)a2T(t)??? 得到两个常微分方程
X??(x)??X(x)?0 T??(t)??a2T(t)?0 由边界条件得X?(0)T(t)?0,X?(l)T(t)?0
5分 10分
2分
3分
……4分 ……
由T(t)?0，得X?(0)?0,X?(l)?0 ……5分
于是固有值问题为
??X??(x)??(x)?0,?X?(0)?0,X?(l)?0
解之得一系列固有值
???n?n?(l)2,n?0,1,2,? 相应的固有函数为
Xn?n(x)?cosx 再解方程 T??(t)?(n?al 2l)T(t)?0，通解为 Tn?an(t)?Cncoslt?Dn?ansinlt 利用解的叠加原理，可得满足方程和边界条件的级数形式解
?u(x,t)??(Cn?alt?Dsinn?ancoslt)cosn?nlx n?1
由初始条件ut|t?0?0，得Dn?0，
?由u得 x??Cn?t?0?x,ncosx
n?1l
其中C?1ll0l?0xdx?2
C1ln?2ln?l?0xcosldx?(n?)2[(?1)n?1],n?1,2,?
将Cn,Dn代入u(x,t)得定解问题解
u(x,t)?l2l??(?1)n?1n?a2??22costcosn?x n?1nll. 解非齐次方程的混合问题
……8分 ……10分 ……12分 ……13分
……14分 ……15分
四
?ut?uxx?x,0?x??,t?0???ux?0?0,ux???0,t?0 ?0?x????ut?0?0.解 先确定固有函数Xn(x).
令u(x,t)?X(x)T(t)代入相应的齐次方程和齐次边界条件得 固有值问题
?X??(x)??X(x)?0 ?X(0)?0,X(?)?0?
固有函数为 Xn(x)?sinnx,n?1,2,? ……5分
设解为
u(x,t)??Tn(t)sinnx （1） ……7分
n?1?其中Tn(t)是待定函数.显然u(x,t)满足边界条件.
为确定函数Tn(t),先将方程中的非齐次项展为固有函数级数
x??fn(t)sinnxn?1? （2） ……8分
其中
fn(t)?2???0(?1)n?12x?sinnxdx? ……9分
n再将（1）,(2)代入方程得
?(?1)n?12?2 ??Tn?(t)?nTn(t)?nx?0 ?sinnn?1???比较系数,有
(?1)n?12Tn?(t)?nTn(t)?,n2n?1,2,? ……10分
由初始条件得
?T(0)sinnx?0
nn?1?所以
Tn(0)?0 ……11分
解初值问题
???T(t)?(?1)n?122n??(t)?nTn?n ?Tn(0)?0,n?1
得T(?1)2?nn(t)?3(1?e2t)
n将Tn(t)代入级数(1)，得定解问题的解.
?u(x,t)?2?(?1)n?13(1?e?n2t)sinnx n?1n五. 用积分变换法解无界杆热传导问题
???ut?a2uxx,???x???,t?0??ut?0??(x). x2本题所用公式：F?1[e?a2?2t]?1?4a2t2a?te
解 对x作傅氏变换，记
u~(?,t)? F [u(x,t)] ?~(?)?F [?(x)]
对方程和初始条件关于x取傅氏变换，有
?~?du???a2?2u~ ?dt?u~t?0??~ (?)
……14分 ……15分 ……2分 ……7分