解常微分方程的初值问题，得
~(?)e?a2?2t ……10分 ~(?,t)??u
~(?,t)进行傅氏逆变换得 再对u
u(x,t)?F
?1~(?)e?a?t] ……13分 [?22 ??(x)?12a12a?t??e?x24a2t
??t????(?)e?(x??)24a2td? ……15分
六. 用静电源像法求解上半平面y?0的狄利克雷问题
??uxx?uyy?0,???u|y?0?f(x).y?0
解 先求格林函数，由电学知在上半平面y?0的点M0(x0,y0)处置单位负电荷，在M0关于x轴的对称点M1(x0,?y0)处置单位正电荷，则它与M0产
生的电势在x轴上 互相抵消，因此上半平面y?0的格林函数为
G(M,M0)?111(ln?ln)2?rMM0rMM1
??…7分
1ln(x?x0)2?(y?y0)2?ln(x?x0)2?(y?y0)24???????
…
下面求
?G?ny?0???G?yy?0
1?4?????2(y?y0)2(y?y0) ??2222?y?0(x?x)?(y?y)(x?x)?(y?y)0000???y01 ……10分 2?(x?x0)2?y0所以
u(x0,y0)???u?y?Gdl?0?n??????f(x)1dx ……15分 22(x?x0)?y0七. 证明调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，则必是唯一的，而且连续地依赖于所给的边界条件f．
证明：假设有两个调和函数u1(x,y,z)和u2(x,y,z)，它们在有界区域?的边界?上完全相同，则它们的差u?u1?u2在?中也满足方程?u?0，且
u|??0。由极值原理的推论知，函数u在区域?上最大值和最小值均为零，即
u?0。因此u1?u2，即狄利克雷内问题的解是唯一
的。 ……5分
其次，设在区域?的边界?上给定了函数f和f?，而且在?上处处成立
f?f???，这里?是一个给定的正数。设u,u?分别是方程?u?0在区域?上
以f和f?为边界条件的狄利克雷内问题的解，那么调和函数
(u?u?)|??f?f?。由极值原理的推论可得，在?上各点有
max(u?u?)?max(f?f?)??，
????min(u?u?)?min(f?f?)???.
????因此，在?上各点有
u?u??maxf?f???，
?即狄利克雷内问题的解连续地依赖于所给的边界条件。 ……10分