本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 线面角与线线角
【知识网络】
1、异面直线所成的角：（1）范围：??(0,?2]；（2）求法；
2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0?,90?]；（3）求法； 3、一些常见模型中的角之间的关系。 【典型例题】
例1：（1）在正方体ABCD?A1BC 11D1中，下列几种说法正确的是 （ ）A、AC11?AD B、DC11?AB C、AC1与DC成45角 D、AC1成60角 11与BC??答案：D。解析：A1C1与AD成45°，D1C1与AB平行，AC1与DC所成角的正切为
2。 2（2）在正方体AC1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成300角的平面的个数为 （ ）
A、2个 B、4个 C、6个 D、8个
答案：B。解析：平面A1ACC1，平面BB1D1D，平面ABC1D1，平面A1D1CC1。 （3）正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长是1，侧棱长是2，则这个棱柱的侧 面对角线E1D与BC1所成的角是 （ ）
A．90o
B．60o
C．45o
D．30o
答案：B。解析将BC1平移到E1F即可。
（4）在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，BC⊥DA，那么对角线AC与BD的位置关系是 。
答案：AC⊥BD。解析：过A作AH⊥平面BCD，垂足为H，因为CD⊥AB，BC⊥AD，所以CD⊥BH，BC⊥DH，故H为△BCD的垂心，从而BD⊥CH，可得BD⊥AC。
（5）点AB到平面?距离距离分别为12，20，若斜线AB与?成30的角，则AB的
0长等于__ ___.
答案：16或64。解析：分A、B在平面α的同侧和异侧进行讨论。
例2：．如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1
＝2∶1，BF＝BC＝2a。
（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于 A、D的任意一点，证明EF⊥FC1；
（II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E
点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论。
答案：（I）连结DF，DC ∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC，∴平面BB1C1C⊥平面ABC
∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB1C1C ∴DF为EF在平面BB1C1C上的射影，
在△DFC1中，∵DF2＝BF2＋BD2＝5a2，DC12＝CC12＋DC2＝10a2，
FC1＝B1F2＋B1C12＝5a2， ∴DC12＝DF2＋FC12，∴DF⊥FC1 FC1⊥EF
（II）∵AD⊥平面BB1C1C，∴∠DFE是EF与平面BB1C1C所成的角 在△EDF中，若∠EFD＝60°，则ED＝DFtg60°＝3·5a＝15a， ∴15a＞3a，∴E在DA的延长线上，而不在线段AD上 故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60°角。 P
例3： 如图, 四棱锥P-ABCD的底面是AB=2, BC
A =2的矩形, 侧面PAB是等边三角形, 且侧面 PAB⊥底面ABCD.
D (Ⅰ)证明:BC⊥侧面PAB;
B
(Ⅱ)证明: 侧面PAD⊥侧面PAB;
(Ⅲ)求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小; C
答案： (Ⅰ)证: ∵侧面PAB⊥底面ABCD, 且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB, 在矩形ABCD中, BC⊥AB，.∴BC⊥侧面PAB.
(Ⅱ)证: 在矩形ABCD中, AD∥BC, BC⊥侧面PAB, ∴AD⊥侧面PAB. 又AD?平面PAD, ∴侧面PAD⊥侧面PAB.
(Ⅲ)解: 在侧面PAB内, 过点P做PE⊥AB, 垂足为E, 连结EC, ∵侧面PAB与底面ABCD的交线是AB, PE⊥AB, ∴PE⊥底面ABCD. 于是EC为PC在底面ABCD内的射影. ∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角. 在△PAB和△BEC中, 易求得PE=3, EC=3.在Rt△PEC中, ∠PCE=45°.
例4：设△ABC内接于⊙O，其中AB为⊙O的直径，PA⊥平面ABC。如图
2cos?ABC?答案：
5,PA:PB?4:3,求直线PB和平面PAC所成角的大小. 6
设PA?4x,AB?3x,则PB?5x,BC?3xcos?ABC??AB是?O的直径??ACB?90?,即BC?AC又?PA?面ABC,?PA?BC?BC?面PAC??BPC是PB和面PAC所成的角5x1在Rt?BPC中,sin?BPC?2?,??BPC?30?5x2即直线PB和平面PAC所成的角为30?5x2
【课内练习】
1．若平面?外的直线a与平面?所成的角为?，则?的取值范围是 （ ） （A）(0,?2) （B）[0,?2) （C）(0,?2] （D）[0,?2]
答案：D。解析：a和α平行，a和α斜交。
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1 的中点，则直线OM ( )
A 是AC和MN的公垂线 B 垂直于AC但不垂直于MN C 垂直于MN，但不垂直于AC D 与AC、MN都不垂直 答案：A 。解析：易证OM⊥AC，OM⊥MN。
3．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为2，底面边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是
A．30° B．45° C．60°
答案：C 。解析：连AC、BD交于O，连OE，则OE//SC.
D．90°
（ ）
13?322222?1,??BEO?60? ?BE?2,OB?,OE?,?cos?BEO?22222?2?22?4．异面直线a , b所成的角为60?，过空间一定点P，作直线L，使L与a ,b 所成的角均为60?，这样的直线L有 条。
答案：三条。解析：如换成50°，70°呢。
5．已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且 ∠DPA=450，∠DPB=600，则∠DPC=__________。
答案：600 。解析：以PD为对角线构造长方体
6．正方体AC1中，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相 等，试写出满足条件的一个截面____________
答案：面AD1C。解析：可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD1C， 7．如图，四面体ABCS中，SA，SB，SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M
C为AB的中点，求：
（1）BC与平面SAB所成的角；
（2）SC与平面ABC所成角的正弦值。
H
SMAB
解析：（1）∵SC⊥SB，SC⊥SA，∴SC⊥平面SAB。 于是SB就是直线BC与平面SAB所成的角，为60°。 （2）联结SM，CM，∵在Rt△SAB中，∠SBA=45°，∴SM⊥AB，∴AB⊥平面SCM。 作SH⊥CM于H，则AB⊥SH，故SH⊥平面ABC，所以∠SCH为SC与平面ABC所成的角。
设SA=a，则SB=a，SC=3a，SM=在Rt△CSM中，CM?2a。 21SC2?SM2?3a2?a2，
22aSM72sin?SCH?sin?SCM???。 CM77a27即SC与平面ABC所成角的正弦值为。
78．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，
⑴求证：A1C⊥平面BDE；
⑵求A1B与平面BDE所成角的正弦值。
答案：⑴由三垂线定理可得，A1C⊥BD，A1C⊥BE?A1C⊥平面BDE
⑵以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立坐标系，则A1(2,0,4)，C(0,2,0)
B(2,2,0)，∴AC?(?2,2,?4)，A1B?(0,2,?4) 1????????AC?A1B1?????????,AB??∴cos?AC11AC?A1B1????????????????30 6设A1C?平面BDE＝K，由⑴可知，∠A1BK为A1B与平面BDE所成角，
30 69．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. （Ⅰ）求证：AB⊥CD；
（Ⅱ）求AB与平面BCD所成角的余弦值.
∴sin?A1BK?cos?A1C,A1B??????????答案：（Ⅰ）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°， AC=AD=2，AB=3， ∴△ABC≌△ABD，BC=BD.
取CD的中点M，连AM、BM，则CD⊥AM，CD⊥BM. ∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD. （Ⅱ）由CD⊥平面ABM，则平面ABM⊥平面BCD，这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角. 在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，?BC?AB2?AC2?AB?AC?7. 在△ACD中，
AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD是正三角形，AM=
3. 在Rt△BCM中，BC=7，CM=1，
3222?BM?6.?cos?ABM?AB?BM?AM?6.
2AB?BM10．已知等腰?ABC中，AC = BC = 2，?ACB = 120?，?ABC所在平面外的一点P到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。
答案：设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，则OC是PC在平面ABC内的射影， ∴?PCO是PC与面ABC所成的角。∵ PA = PB = PC， ∴点P在底面的射影是?ABC的外心，
注意到?ABC为钝角三角形，∴点O在?ABC的外部， ∵AC = BC，O是?ABC的外心，∴OC⊥AB
在?OBC中，OC = OB， ?OCB = 60?，∴?OBC为等边三角形，∴OC = 2 在Rt?POC中，cos?PCO?
OC1?∴?PCO = 60? 。 PC2
【作业本】
A组
1．垂直于同一条直线的两条直线一定 （ ） A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能 答案：D。解析：注意空间和平面中的位置关系的不同。 2．a是平面α的斜线，b??，a与b成α所成角的大小为 。
答案：
??角，b与a在α内的射影成角，则a与34????2。解析：cos?coscos?,?cos??，即θ=。 44342