3．PA、PB、PC是两两成600角的三条射线,则PC与平面PAB所成角的余弦值是
（ ） A．
1633 B． C． D． 2332答案：C。解析：可放入正四面中考虑。
4．直线l与平面α成角为300，l???A,m??,A?m则m与l所成角的取值范围是 。
答案： [ 300 , 900]。解析：斜线与平面内所有直线的所成角中，线面角最小角。
5．边长为2的正方形ABCD在平面α内的射影是EFCD，如果AB与平面α的距离为
2，则AC与平面α所成角的大小是 。
答案：30?。解析：sin??21?,???30?。 2226．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN，求：
??????????(1) cos?A1D,AM?；
(2) 直线AD与平面ANM所成的角的正切； (3) 平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值.
解析：(1) 以A为原点，AB、AD、AA1所在直线 为x轴，y轴，z轴. 则D(0,8,0)，A1 (0，0，4)，M(5,2,4)
?A1D?(0,8,?4) AM?(5,2,4)
∵A1D?AM?0 ∴cos?A1D,AM??0
(2) 由(1)知A1D⊥AM，又由已知A1D⊥AN，?A1D?平面AMN，垂足为N. 因此AD与平面ANM所成的角即是?DAN. ∴tan?DAN?tan?AA1D?2
(3) ∵AA1?平面ABCD，A1N?平面AMN，
∴AA1和NA1分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。 设平面AMN与平面ABCD所成的角（锐角）为?，则
????????5cos??cos?AA1,NA1??cos?AA1N?cos?AA1D?
5P 7．已知∠ACB=900，且在平面α内，PC与CA、CB所成角 ∠PCA=∠PCB=600,求PC与平面α所成角。
C α B A
答案：解：如图过点P作PH⊥平面ABC于H，
过点H作HD⊥AC于D，作HE⊥BC于E，连PD、PE，∴PD⊥AC，PE⊥BC， ∵∠PCA=∠PCB=600，∴ΔPCD≌ΔPCE，∴CD=CE，∴ΔHCD≌ΔHCE，
P 12∴HD=HE，∴CH平分∠ACB，设PC=a∴CE?a,CH?a,
22∴∠PCH=45，即PC与平面α所成角为45。 BC的中点， G是AA1上的点.
（1）若AC1?EG，试确定点G的位置；
（2）在满足条件（1）的情况下，试求cos＜AC，GF＞的值.
0
0
D C α H E B A
8. 如图，正方形ACC1A1与等腰直角△ACB互相垂直，∠ACB=90°，E、F分别是AB、
建立如图所示的空间直角坐标系。
?????????????解析：（1）以C为原点，CB为x轴正方向，CA为y轴正方向，CC1为 z轴正方向，
zC111A1令A(0,1,0)，则B(1,0,0),E(,,0),C1(0,0,1)， 22G?????????11C设G(0,1,a)，则AC1?(0,?1,1),EG?(?,,a)， A22F?????????E1由AC1?EG得a?，∴G为AA1的中点。
2xB????1????????1????16（2）GF?(,?1,?),AC?(0,?1,0)，?cos?AC,GF??。 ?22332 y
B组
1．一条直线与一个平面所成的角等于?，另一直线与这个平面所成的角是?. 则这两
36条直线的位置关系 A．必定相交 B．平行 C．必定异面
答案：D。解析：若平行则直线与平面的所成角必相等。 2．如图正四面体D-ABC中, P∈面DBA, 则在平面DAB 内过点P与直线BC成60°角的直线共有 ( )
A 0条 B 1条 C 2条 D 3条
答案：C。解析：过B分别作BD，AB的平行线即可。
（ ） D．不可能平行
D · P A C B
3．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持
AP⊥BD1,则动点P的轨迹 （ ）
A、线段B1C B、BB1的中点与CC1中点连成的线段 C、线段BC1 D、CB中点与B1C1中点连成的线段 答案：A。解析：B1C⊥面BD1C1，∴P点轨迹为线段B1C。
4．设??MN??为直二面角，A?MN，AB??，AC??，∠BAN＝∠CAN＝45o， 则∠BAC＝ 。
答案：60o。解析：cos?BAC?cos45?cos45???1,??BAC?60?。 25．一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直二面角，则两直角边所夹角的余弦值为_____。
答案：
2。解析：CD为斜边上的高， 5设BD?x,AB?22?42?25
x?2225?25?2255?5 5AD?25?585?CD?AB,?BD?CD,AD?CD
??ADB为二面角的平面角，??ADB??2
?AB?(2820?320285 5)2?(5)2??5525522?42?(285)225?
2?2?45?cos?ACB?6．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，PD?CD?AD?1AB，
2∠ADC＝120o，
⑴求证：求异面直线AD，PB的所成角；
⑵若AB的中点为E，求二面角D－PC－E的大小。
3答案：⑴连BD，∵∠ADC＝120o，AB∥CD，∴∠DAB＝60o，又A∴BD?AB D?1AB，
22∴AD⊥BD，又∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AD，∴AD⊥平面PDB，∴AD⊥PB， 即异面直线AD、PB的所成角为90°。
⑵连DE，由已知可得△DEC为正三角形，取DC的中点F，连EF，则EF⊥CD， ∵PD⊥面ABCD，∴EF⊥PD，∴EF⊥面PCD，过F作FG⊥PC，连EG， 则∠EGF为二面角D－PC－E的平面角
1CP?PD3a，在△PDC中，PC?2a，则FG?2设CD＝a，则EF??a 2PC22∴tan?EGF?EF?FG6 ∴?EGF?arctan6（注：本题用空间向量做也可）
7． 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=2a，BC=CA=AA1=a，A1在底面ABC上的射影O在AC上.
（Ⅰ）求AB与侧面AC1所成的角；
（Ⅱ）若O恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积.
答案：(Ⅰ)在△ABC中，AB=2a，BC=AC=a,∴△ABC是等腰直角三角形，BC⊥AC，∠CAB=45°,又BC⊥A1O，故BC⊥侧面AC1，AB与侧面AC1所成角就是∠BAC=45°.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知四边形B1BCC1为矩形，?SBBCC?a2.?A1O?AC,O为AC中点，
11?A1O?332a,SA1ACC1?AC?A1O?a.作OE?AB于E，连结A1E，则AB⊥A1E. 在22Rt△AOE
2214?AO?a，在Rt△A1EO中，A1E?A1O2?OE2?a.
42472?SABB1A1?AB?A1E?a.?S侧?(3?2?7)a2.
28．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC． P中，OE?(Ⅰ)当k＝
1时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值； 2AOBD(Ⅱ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？ 答案：(Ⅰ) ∵O、D分别为AC、PC中点，? OD∥PA
C又PA?平面PAB， ? OD∥平面PAB ? AB?BC，OA?OC，
? OA?OB?OC，
又? OP?平面ABC，? PA?PB?PC.
取BC中点E，连结PE，则BC?平面POE，作OF?PE于F，连结DF，则OF?平面PBC
? ?ODF是OD与平面PBC所成的角.
又OD∥PA， ?PA与平面PBC所成的角的大小等于?ODF，
在Rt?ODF中，sin?ODF?OF210?, OD30(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OF?平面PBC，∴F是O在平面PBC内的射影 ∵D是PC的中点，
若点F是?PBC的重心，则B，F，D三点共线，∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，
?OB?PC,?PC?BD,?PB?PC，即k?1 反之，当k?1时，三棱锥O?PBC为正三棱锥， ∴O在平面PBC内的射影为?PBC的重心