这里s0?t?可以称为生成信源，因为它生成了入射到阵列上的N个相干信号源。带入式(2-9 )，可得相干信号源的数学模型:
??1?????2??.? (2-13)
X?t??A??s0?t??N?t??A?s0?t??N?t??.??.??????N?? 式中，?是由一系列复常数组成的N×1维矢量。
3 波达方向估计的算法研究
本章介绍使用天线阵列估计无线信号波达方向(亦称波达角)的一些算法。自适应阵列在定
位应用中十分重要，FCC(联邦通信委员会)最近要求2001年前在无线紧急呼叫方面要达到125m的定位精度，因此，确定无线系统中RF信号的波达方向引起了人们浓厚的兴趣。
基于阵列的波达方向(DOA)估计方法可分为四大类:传统法(conventional technique)、子空间法(subspace based technique)、最大似然法(maximum likelihood technique)以及将特性恢复法和子空间法结合起来的综合法(integrated technique)。本论文讨论的算法主要基于传统的MUSIC或ESPRIT算法来实现信号的DOA估计。传统法基于经典波束形成方法，需要大量的阵元才能获得高分辨率。子空间法利用输入数据矩阵的特征结构，是高分辨率的次最优方法。最大似然法是比较合适方案，即使在信噪比很低的环境下也能获得良好的性能，但计算量通常很大。综合法是CDMA一种很有希望的方法，利用特性恢复方案区分多个信号，估计空间特征，进而采用子空间法确定波达方向。
3.1 DOA估计的传统算法
波达方向估计的传统法基于波束形成和零陷导引的概念，并未利用接收信号向量u(k)的模型或信号和噪声的统计模型。阵列流形己知后，阵列就可以进行电子导引。这里的DOA估计法可以利用电子导引把波束调节到任意方向，寻找输出功率的峰值。这里讨论的传统方法是延迟－相加法(经典波束形成器)和Capon最小方差法。
3.1.1 延迟－相加法
延迟－相加法，又称经典波束形成器法或傅里叶法，是DOA估计最简单的方法之一。其输出信号y(k)是传感器阵元输出的线性加权之和，即
y(k)?wHu?k? (3-1)
传统波束形成器总的输出功率可以表示为
2?wHu(k)2??wHE?u(k)uH(k)?w?wHRw (3-2) ??P?Ey(k)?Ecbfuu????????式中Ruu定义为阵列输入数据的自相关矩阵。式(3-2)在传统DOA估计算法中的地位举足轻重。自相关矩阵Ruu，包含了阵列响应向量和信号自身的有用信息，仔细分析Ruu。，可以估计出信号的参数。
6
考察一个以角度?0入射到阵列上的信号s(k)。根据窄带输入数据模型，波束形成器的输出功率可以表示成
?wHu(k)2??E?wH?a(?)s(k)?n(k)?2??wHa(?)2??2??2? （3-3） P(?)?Ecbf000sn????????2式中a(?0)是关于DOA角度的导引向量，和n(k)是阵列输入端的噪声向量，?s?E??s(k)????2??n?E?n(k)??分别是信号和噪声的功率。从式(3-3)可以清楚看到，当w?a(?0)时，输出功率最
大。这是由于w?a(?0)在传感元处将来自?0的信号分量的相位对齐，使它们良性合并。在DOA估计的经典波束形成方法中，波束离散地在感兴趣的扇形区域扫描，对不同的?形成不同的权值w?a(?)，并测量输出功率。利用式(3-3)，经典波束形成器的输出功率与波达方向的关系由下式给出:
HHPcbf(?)?wRuuw?a(?)Ruua(?) （3-4）
因此，如果我们对输入自相关矩阵进行估计，知道对所有感兴趣的导引向量(通过校准或分
析计算)，就可能估计出输出功率关于波达角的函数。输出功率关于波达角的函数通常称为空间谱(spatial spectrum)。很明显，通过锁定式(3-4)定义的空间谱的峰值就可以估计出波达方向。
延迟－相加法有很多缺点。当存在来自多个方向信源的信号时，此方法要受到波束宽度和旁瓣高度的限制，因为大角度范围的信号会影响观测方向的平均功率。因此，这种方法的分辨率较低。尽管可以通过额外增加传感元来提高分辨率，但增加传感元的同时也增加了接收机数和校准数据（即a(?)）的存储需求。
3.1.2 Capon最小方差法
延迟－相加法基于这样一个假设，即如果把最强的波束指向某个方向，将获得来自该方向功率的最优估计。换句话说，阵列所有可利用的自由度都用来在所需的观测方向上形成一个波束。当只有一个信号存在时，该方法是可行的。但存在不只一个信号时，阵列输出功率将包括期望信号和来自其他方向非期望信号的贡献。
Capon最小方差法试图克服延迟－相加法分辨率差的缺点。此方法使用一些自由度在期望观测方向形成一个波束，同时利用剩余的自由度在干扰信号方向形成零陷。此方法使输出功率最小，达到使非期望干扰的贡献最小的目的，同时增益在观测方向保持为常数，通常为1。即
2minE?y(k)??minwHRuuw 约束条件
??wwwHa(?0)?1 (3-5)
求解式(3-5)而得到的权向量通常称为最小方差无畸变响应(minimum variance distortionless
response, MVDR)波束形成器权值，因为对于某个观测方向，它使输出信号的方差(平均功率)最小，又能使来自观测方向的信号无畸变地通过(增益为1，相移为0)。式(3-5)是一个约束优化问题，可以利用拉格朗日乘子法求解。这种方法将约束优化问题转化为非约束问题，因此可以使用最小二乘法求解。利用拉格朗日乘子，可以证明式(3-5)的权向量解为:
?1Ruua(?) (3-6) w?H?1a(?)Ruua(?)
7
利用Capon波束形成方法，阵列输出功率关于波达方向的函数可由Capon空间谱得到:
1 (3-7) P(?)?CaponH?1a(?)Ruua(?)计算和画出在全部?范围上的Capon谱，就可以通过寻找谱上的峰值来估计出DOA。尽管不是最大似然(ML)估计器，Capon法有时也被称为ML估计器，因为在具体任意空间特性的高斯白噪声存在的情况下，对于任意的?，PCapon(?)是来自方向?的信号功率的最大似然估计。 尽管与延迟－相加法相比，Capon法能提供更佳的分辨率，但Capon法也有很多缺点。如
果存在与感兴趣信号相关的其他信号，Capon法就不再起作用，因为它在减小处理器输出功率时无意中利用了这种相关性，而没有为其形成零陷。换句话说，在使输出功率达到最小的过程中，相关分量可能会恶性合并。而且Capon法需要对矩阵求逆运算，这对大型阵列是巨大的耗费。
3.2 DOA估计的子空间法
尽管Capon最小方差法这样的基于波束形成的经典方法通常很有效，也常被用到，但这些方法在分辨率方面有本质上的局限性。这些局限大多数是由于没有利用输入信号模型的结构。Schmidt, Bienvenu和Kopp最早在任意形式的传感器阵列中采用更准确的数据模型结构。Schmidt在不考虑噪声的情况下导出了DOA估计问题的完全几何解，并将这个几何解推广，得到存在噪声时的合理近似解。Schmidt提出的方法称为多重信号分类(MUSIC)算法，自诞生之日起就得到了广泛的研究。MUSIC所根据的几何概念，也是一类范围更广的基于子空间((Subspace-based)算法的基础。除MUSIC外，基于子空间算法的形成还主要得益于Roy等提出的借助旋转不变技术的信号参数估计(ESPRIT)和Kumaresan, Tufts提出的最小范数法。 3.2.1 MUSIC算法
Schmidt在1979年提出的MUSIC算法是基于阵列协方差矩阵待征分解，利用信号子空间
和噪声子空间的正交性对信号波达方向进行超分辨波估计的一种方法。该算法发挥其超分辨波达方向估计性能的前提是信号源数目的准确估计。MUSCI算法首先对阵列协方差矩阵进行特征分解，然后根据提供的信源数目确定噪声子空间，利用信号子空间和噪声子空间的正交性在方向域内搜索来确定波达方向。MUSIC算法虽然具有很高的分辨能力，但它需要十分精确的阵列校准。MUSIC算法己经得到实现，性能也已得到了实验验证。
MUSIC算法是以几何观点考察信号参数估计的问题。根据窄带数据模型，如果在D个信号入射到阵列上，则M元阵列接收到的输入数据向量可以表示为D个入射波形与噪声的线性组合。
Φ? ? 12N-1N? ? ? M-1M 即:
u(t)??a(?)s(t)?n(t) (3-8)
iii?0D?1 8
?s0(t)??.??? (3-9)
u(t)??a(?0)a(?1)…a(?D－1)??.??n(t)?As(t)?n(t)???.???sD?1(t)??式中，sT(t)??s0(t)s1(t)…sD?1(t)?是入射信号向量。n(t)??n0(t)n1(t)…nD?1(t)?是噪声向
量，a(?j)是对应于第j个信号的波达方向的阵列导引向量。为简单起见，今后我们省略u ， s和n中的时间变量。
利用几何描述，可以把接收向量u和导引向量a(?j)看作M维空间的向量。由式(3-9)可知，u是阵列导引向量的某个组合，系数为s0,s1,…,sD?1。对于上面的数据模型，输入协方差矩阵
Ruu可以表示为
HHHH?????Ruu?E?uu?AEssA?Enn?????? (3-10)
Ruu?ARssAH??n2I (3-11)
H式中，Rss是信号相关矩阵(signal correlation matrix) E??ss??。Ruu的特征值为
??0,...,?M?1?，使得
Ruu??iI?0 (3-12)
利用式(3-11)，我们可以把它改写为
2ARssAH??n2I??iI?ARssAH???i??n?I?0 (3-13)
因此ARssAH的特征值(eigenvalues)
vi为
2vi??i??n (3-14)
因此A是由线性独立的导引向量构成的，所以是列满秩的，信号相关矩阵Rss也是非奇异的，只要入射信号不是高度相关的。
列满秩的A和非奇异的Rss可以保证，在入射信号数D小于阵元数M时，M×M的矩阵
ARssAH是半正定的，且秩为D。
9
由线性代数的基本知识可知，这意味着ARssAH的特征值vi中，有M-D个为零。由式(3-14)可知，Ruu的特征值中有M-D个等于噪声方差?n。然后我们寻找Ruu的特征值，使?0是最大
2特征值，?M?1是最小特征值，因此
2 (3-15) ?0,...,?M?1??ｎ但实际中是使用有限个数据样本估计自相关矩阵Ruu的，所有对应于噪声功率的特征值并不相同，而是一组差别不大的值。随着用以估计Ruu的样本数的增加，表征它们离散程度的方差逐渐减小，它们将会转变为一组很接近的值。最小特征值的重数K一旦确定，利用M=D+K的关
系，就可确定信号的估计个数D。所以信号的估计个数由下式给出
D=M-K (3-16) 关于特征值?i的特征向量为ｑｉ，满足
?Ruu??iI?ｑｉ?0 (3-17)
对于与M-D个最小特征值相关的特征向量，我们有
?Ruu222??nI?qi?ARssAHqi??nI??nI?0 (3-18)
ARssAHqi?0 (3-19)
因为A满秩，Rss非奇异，故有
AHqi?0 (3-20)
或
?aH(?0)qi??0??H???a(?)q1i???0????.?.???? (3-21) ?.???.????.?.?H?????a(?D?1)qi???0?这表明与M-D个最小特征值相关的特征向量，和构成A的D个导引向量正交。
?a(?0),...,a(?D?1)???qD,...,qM?1? (3-22)
2 这是MUSIC方法的基本结果。通过寻找与Ruu中近似等于?n的那些特征值对应的特征向
量最接近正交的导引向量，可以估计与接收信号相关的导引向量。
10